单侧极限与无穷大.pptx
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1、4.单侧极限与无穷大单侧极限与无穷大1.单侧极限概念及其定义单侧极限概念及其定义当自变量趋于有限数时,函数极限 的数量化刻画是 “语言”:这时可以理解为:只考虑点只考虑点 x0 的的 左邻域左邻域 内,自变量内,自变量 从左边趋于从左边趋于 有限数有限数 x0 时,时,函数值函数值 f(x)有向常数有向常数 A 无限趋近的变化趋势。无限趋近的变化趋势。这种情况下,称函数这种情况下,称函数 f(x)在点在点 x0 的的 左极限左极限 存在,记为:存在,记为:只考虑点只考虑点 x0 的的 右邻域右邻域 内,自变量内,自变量 从右边趋于从右边趋于 有限数有限数 x0 时,函时,函数值数值 f(x)有
2、有 向常数向常数 A 无限趋近的变化趋势。无限趋近的变化趋势。这种情况下,称函数这种情况下,称函数 f(x)在点在点 x0 的的右极限右极限 存在,记为:存在,记为:函数函数 f(x)在点在点 x0 的的 左极限左极限 与与 右极限右极限 统称为函数统称为函数 f(x)在在点点 x0 处的处的 单侧极限单侧极限。原规定的函数。原规定的函数 f(x)在点在点 x0 的的 极限极限 也也就常被称为就常被称为 双侧极限。双侧极限。利用单侧极限定义利用单侧极限定义 验证极限问题验证极限问题 定理:定理:函数函数 f(x)在点在点 x0 点处有点处有(双侧)双侧)极限极限 的充分必要条件是:的充分必要条
3、件是:它在点它在点 x0 处的处的 左极限左极限 与与 右极限右极限 均均 存在存在 并且并且 相等相等。说明说明(1)函数极限的函数极限的 四则运算法则四则运算法则 对函数的对函数的 单侧极限单侧极限 也是成立的。也是成立的。单侧极限单侧极限 与与 双侧极限双侧极限 的相互关系显然有以下的定理:的相互关系显然有以下的定理:(2)“简单函数简单函数”的的 单侧极限单侧极限 已知结果仍然是:已知结果仍然是:(3)求)求“整式函数整式函数”和和 “某些某些 有理分式函数有理分式函数”的的 单侧极限单侧极限 时时,代入法代入法 仍然成立仍然成立;求求“另一些另一些 有理分式函数有理分式函数”的的 单
4、侧极限单侧极限 时时,消去零因式法消去零因式法 仍然成立仍然成立;求;求“某些某些 无理分式函数无理分式函数”的的 单侧极限单侧极限 时时,共轭因式法共轭因式法 也仍然成立也仍然成立。2.单侧极限的应用实例单侧极限的应用实例 函数函数 f(x)的的 单侧极限单侧极限 概念在研究概念在研究 分段函数分段函数 的极的极 限时有限时有 不可或缺不可或缺 的应用。的应用。题型题型 I:研究研究 分段函数分段函数 在在 分段点分段点 上的函数极限问题上的函数极限问题.题型题型 II:已知已知 分段函数分段函数 在在 分段点分段点 上极限存在,求函数表示式中的上极限存在,求函数表示式中的 待定常数问题待定
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