2022年广东省梅州市中考数学试卷解析.docx

2022年广东省梅州市中考数学试卷
一、选择题：每题3分，共21分，每题给出四个答案，其中只有一个是正确的.
1．〔3分〕〔2022•梅州〕的相反数是〔　　〕

A．
2
B．
﹣2
C．

D．
﹣
2．〔3分〕〔2022•梅州〕如下列图几何体的左视图为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔3分〕〔2022•梅州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
x+x2=x3
B．
x2•x3=x6
C．
〔x3〕2=x6
D．
x9÷x3=x3
4．〔3分〕〔2022•梅州〕以下说法正确的选项是〔　　〕

A．
掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

B．
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，那么甲的射击成绩较稳定

C．
“明天降雨的概率为〞，表示明天有半天都在降雨

D．
了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
5．〔3分〕〔2022•梅州〕以下命题正确的选项是〔　　〕

A．
对角线互相垂直的四边形是菱形

B．
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

C．
对角线相等的四边形是矩形

D．
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．假设∠B=20°，那么∠C的大小等于〔　　〕

A．
20°
B．
25°
C．
40°
D．
50°
7．〔3分〕〔2022•梅州〕对于二次函数y=﹣x2+2x．有以下四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，那么当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是〔0，0〕和〔2，0〕；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为〔　　〕

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
二、填空题：每题3分，共24分．
8．〔3分〕〔2022•梅州〕函数中，自变量x的取值范围是．
9．〔3分〕〔2022•梅州〕分解因式：m3﹣m=．
10．〔3分〕〔2022•梅州〕据统计，2022年我市常住人口约为4320000人，这个数用科学记数法表示为．
11．〔3分〕〔2022•梅州〕一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，那么女生中选组长的概率是．
12．〔3分〕〔2022•梅州〕：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，假设以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，那么需要增加的一个条件是．〔写出一个即可〕
13．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，那么▱ABCD的周长等于．
14．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，假设AB=4，BC=2，那么线段EF的长为．
15．〔3分〕〔2022•梅州〕假设=+，对任意自然数n都成立，那么a=，b；计算：m=+++…+=．
三、解答以下各题：本大题有9小题，共75分，解容许写文字说明、推理过程或演算步骤.
16．〔7分〕〔2022•梅州〕在“全民读书月〞活动中，小明调查了班级里40名同学本学期方案购置课外书的花费情况，并将结果绘制成如下列图的统计图，请根据相关信息，解答以下问题：〔直接填写结果〕
〔1〕本次调查获取的样本数据的众数是；
〔2〕这次调查获取的样本数据的中位数是；
〔3〕假设该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期方案购置课外书花费50元的学生有人．
17．〔7分〕〔2022•梅州〕计算：+|2﹣3|﹣〔〕﹣1﹣〔2022+〕0．
18．〔7分〕〔2022•梅州〕a+b=﹣，求代数式〔a﹣1〕2+b〔2a+b〕+2a的值．
19．〔7分〕〔2022•梅州〕关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
〔1〕假设该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
〔2〕当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
20．〔9分〕〔2022•梅州〕如图，△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
〔1〕求证：△ABC≌△ADC；
〔2〕假设∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
21．〔9分〕〔2022•梅州〕九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价〔元/件〕
100
110
120
130
…
月销量〔件〕
200
180
160
140
…
该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
〔1〕请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 〔〕元；②月销量是 〔〕件；〔直接写出结果〕
〔2〕设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少
22．〔9分〕〔2022•梅州〕如图，直线l经过点A〔4，0〕，B〔0，3〕．
〔1〕求直线l的函数表达式；
〔2〕假设圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
23．〔10分〕〔2022•梅州〕在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．假设等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕，记直线BD1与CE1的交点为P．
〔1〕如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；〔直接填写结果〕

〔3〕①设BC的中点为M，那么线段PM的长为；②点P到AB所在直线的距离的最大值为．〔直接填写结果〕
24．〔10分〕〔2022•梅州〕如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
〔1〕四边形ABCD一定是四边形；〔直接填写结果〕
〔2〕四边形ABCD可能是矩形吗假设可能，试求此时k1，k2之间的关系式；假设不能，说明理由；
〔3〕设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕〔x2＞x1＞0〕是函数y=图象上的任意两点，a=，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
2022年广东省梅州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每题3分，共21分，每题给出四个答案，其中只有一个是正确的.
1．〔3分〕〔2022•梅州〕的相反数是〔　　〕

A．
2
B．
﹣2
C．

D．
﹣
考点：
相反数．菁优网版权所有
分析：
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
解答：
解：的相反数是﹣．
应选D．
点评：
此题考查了相反数的定义，是根底题，熟记概念是解题的关键．
2．〔3分〕〔2022•梅州〕如下列图几何体的左视图为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解答：
解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，
应选：A．
点评：
此题考查了简单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图．
3．〔3分〕〔2022•梅州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
x+x2=x3
B．
x2•x3=x6
C．
〔x3〕2=x6
D．
x9÷x3=x3
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法那么计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法那么计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法那么计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=x5，错误；
C、原式=x6，正确；
D、原式=x6，错误．
应选C．
点评：
此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
4．〔3分〕〔2022•梅州〕以下说法正确的选项是〔　　〕

A．
掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

B．
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，那么甲的射击成绩较稳定

C．
“明天降雨的概率为〞，表示明天有半天都在降雨

D．
了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
考点：
方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．菁优网版权所有
分析：
利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．
解答：
解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；
B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，那么甲的射击成绩较稳定，此选项正确；
C、“明天降雨的概率为〞，表示明天有可能降雨，此选项错误；
D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；
应选B．
点评：
此题主要考查了方差、全面调查与抽样调查、随机事件以及概率的意义等知识，解答此题的关键是熟练掌握方差性质、概率的意义以及抽样调查与普查的特点，此题难度不大．
5．〔3分〕〔2022•梅州〕以下命题正确的选项是〔　　〕

A．
对角线互相垂直的四边形是菱形

B．
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

C．
对角线相等的四边形是矩形

D．
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
考点：
命题与定理．菁优网版权所有
分析：
根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
解答：
解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．
应选D．
点评：
此题主要考查了命题与定理的知识，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
6．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．假设∠B=20°，那么∠C的大小等于〔　　〕

A．
20°
B．
25°
C．
40°
D．
50°
考点：
切线的性质．菁优网版权所有
分析：
连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答：
解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
应选：D．
点评：
此题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
7．〔3分〕〔2022•梅州〕对于二次函数y=﹣x2+2x．有以下四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，那么当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是〔0，0〕和〔2，0〕；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为〔　　〕

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：
利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．
解答：
解：y=﹣x2+2x=﹣〔x﹣1〕2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；
②∵直线x=1两旁局部增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，那么当x2＞x1时，有y2＞y1，错误；
③当y=0，那么x〔﹣x+2〕=0，解得：x1=0，x2=2，
故它的图象与x轴的两个交点是〔0，0〕和〔2，0〕，正确；
④∵a=﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是〔0，0〕和〔2，0〕，
∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．
应选：C．
点评：
此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．
二、填空题：每题3分，共24分．
8．〔3分〕〔2022•梅州〕函数中，自变量x的取值范围是　x≥0　．
考点：
函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析：
根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．
解答：
解：根据题意，得x≥0．
故答案为：x≥0．
点评：
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．〔3分〕〔2022•梅州〕分解因式：m3﹣m=　m〔m+1〕〔m﹣1〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：m3﹣m，
=m〔m2﹣1〕，
=m〔m+1〕〔m﹣1〕．
点评：
此题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
10．〔3分〕〔2022•梅州〕据统计，2022年我市常住人口约为4320000人，这个数用科学记数法表示为　4.32×106．
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n〔1≤|a|＜10，n为整数〕中n的值，由于4320000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答：
解：4320000=4.32×106，
故答案为：4.32×106．
点评：
此题主要考查了科学计数法：熟记规律：〔1〕当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；〔2〕当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0是解题的关键．
11．〔3分〕〔2022•梅州〕一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，那么女生中选组长的概率是．
考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生中选组长的概率是多少即可．
解答：
解：女生中选组长的概率是：
4÷10=．
故答案为：．
点评：
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：〔1〕随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．〔2〕P〔必然事件〕=1．〔3〕P〔不可能事件〕=0．
12．〔3分〕〔2022•梅州〕：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，假设以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，那么需要增加的一个条件是　AF=AC或∠AFE=∠ABC　．〔写出一个即可〕
考点：
相似三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
开放型．
分析：
根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
解答：
解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．

点评：
此题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．
13．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，那么▱ABCD的周长等于　20　．
考点：
平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据可求得结果．
解答：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
点评：
此题考查了平行四边形的性质，解答此题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．
14．〔3分〕〔2022•梅州〕如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，假设AB=4，BC=2，那么线段EF的长为．
考点：
翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
如图，AC交EF于点O，由勾股定理先求出AC的长度，根据折叠的性质可判断出RT△EOC≌RT△ABC，从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE，再由EF=2OE可得出EF的长度
解答：
解：如下列图，AC交EF于点O，
由勾股定理知AC=2，
又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，
那么Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
∴OE=
故EF=2OE=．
故答案为：．

点评：
此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答此题的关键是判断出Rt△AOE∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质得出OE的长．
15．〔3分〕〔2022•梅州〕假设=+，对任意自然数n都成立，那么a=，b　﹣；计算：m=+++…+=．
考点：
分式的加减法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
等式右边通分并利用同分母分式的加法法那么计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．
解答：
解：=+=，
可得2n〔a+b〕+a﹣b=1，即，
解得：a=，b=﹣；
m=〔1﹣+﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=，
故答案为：；﹣；．
点评：
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
三、解答以下各题：本大题有9小题，共75分，解容许写文字说明、推理过程或演算步骤.
16．〔7分〕〔2022•梅州〕在“全民读书月〞活动中，小明调查了班级里40名同学本学期方案购置课外书的花费情况，并将结果绘制成如下列图的统计图，请根据相关信息，解答以下问题：〔直接填写结果〕
〔1〕本次调查获取的样本数据的众数是　30元　；
〔2〕这次调查获取的样本数据的中位数是　50元　；
〔3〕假设该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期方案购置课外书花费50元的学生有　250　人．
考点：
条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数．菁优网版权所有
分析：
〔1〕众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；
〔2〕中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；
〔3〕求得调查的总人数，然后利用1000乘以本学期方案购置课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．
解答：
解：〔1〕众数是：30元，故答案是：30元；
〔2〕中位数是：50元，故答案是：50元；
〔3〕调查的总人数是：6+12+10+8+4=40〔人〕，
那么估计本学期方案购置课外书花费50元的学生有：1000×=250〔人〕．
故答案是：250．
点评：
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
17．〔7分〕〔2022•梅州〕计算：+|2﹣3|﹣〔〕﹣1﹣〔2022+〕0．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法那么计算，最后一项利用零指数幂法那么计算即可得到结果．
解答：
解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
18．〔7分〕〔2022•梅州〕a+b=﹣，求代数式〔a﹣1〕2+b〔2a+b〕+2a的值．
考点：
整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法那么计算，将等式代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=〔a+b〕2+1，
把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．
点评：
此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
19．〔7分〕〔2022•梅州〕关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
〔1〕假设该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
〔2〕当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
考点：
根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
〔1〕关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
〔2〕设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解答：
解：〔1〕∵b2﹣4ac=〔﹣2〕2﹣4×1×〔a﹣2〕=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；

〔2〕设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
那么a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
点评：
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；
〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．
20．〔9分〕〔2022•梅州〕如图，△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
〔1〕求证：△ABC≌△ADC；
〔2〕假设∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用SSS定理证得结论；
〔2〕设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．
解答：
〔1〕证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC〔SSS〕；

〔2〕解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABE=60°，
∴AE=tan60°•x=x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，
∴∠BCA=∠DCA=45°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，
∴x+x=4，
∴x=2﹣2，
∴BE=2﹣2．
点评：
此题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．
21．〔9分〕〔2022•梅州〕九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价〔元/件〕
100
110
120
130
…
月销量〔件〕
200
180
160
140
…
该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
〔1〕请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 〔　x﹣60　〕元；②月销量是 〔　400﹣2x　〕件；〔直接写出结果〕
〔2〕设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少
考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
〔2〕根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．
解答：
解：〔1〕①销售该运动服每件的利润是〔x﹣60〕元；
②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴W=﹣2x+400；
〔2〕由题意得，y=〔x﹣60〕〔﹣2x+400〕
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2〔x﹣130〕2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
点评：
此题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．
22．〔9分〕〔2022•梅州〕如图，直线l经过点A〔4，0〕，B〔0，3〕．
〔1〕求直线l的函数表达式；
〔2〕假设圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
考点：
切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把点A〔4，0〕，B〔0，3〕代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．
〔2〕先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．
解答：
解：〔1〕∵直线l经过点A〔4，0〕，B〔0，3〕，
∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴
∴．
∴直线l的解析式为：y=﹣x+3；

〔3〕设M坐标为〔0，m〕〔m＞0〕，即OM=m，
假设M在B点下边时，BM=3﹣m，
∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，
∴△MBN′∽△ABO，
∴=，即 =，
解得：m=，此时M〔0，〕；
假设M在B点上边时，BM=m﹣3，
同理△BMN∽△BAO，那么有 =，即 =，
解得：m=．此时M〔0，〕．

点评：
此题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答此题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．
23．〔10分〕〔2022•梅州〕在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．假设等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕，记直线BD1与CE1的交点为P．
〔1〕如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于　2，线段CE1的长等于　2；〔直接填写结果〕

〔3〕①设BC的中点为M，那么线段PM的长为　2；②点P到AB所在直线的距离的最大值为　1+．〔直接填写结果〕
考点：
几何变换综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
〔2〕根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，即可得出答案；
〔3〕①直接利用直角三角形的性质得出PM=BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，那么D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
解答：
解：〔1〕∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕，
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1==2，E1C==2；
故答案为：2，2；

〔2〕证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；

〔3〕解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，
∴PM=BC，
∴PM==2，
故答案为：2；
②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，那么BD1==2，
故∠ABP=30°，
那么PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．
故答案为：1+．

点评：
此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．
24．〔10分〕〔2022•梅州〕如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
〔1〕四边形ABCD一定是　平行　四边形；〔直接填写结果〕
〔2〕四边形ABCD可能是矩形吗假设可能，试求此时k1，k2之间的关系式；假设不能，说明理由；
〔3〕设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕〔x2＞x1＞0〕是函数y=图象上的任意两点，a=，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
考点：
反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，即可得到结论．
〔2〕联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 =，两边平分得+k1=+k2，整理后得〔k1﹣k2〕〔k1k2﹣1〕=0，根据k1≠k2，那么k1k2﹣1=0，即可求得；
〔3〕由P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕〔x2＞x1＞0〕是函数y=图象上的任意两点，得到y1=，y2=，求出a===，得到a﹣b=﹣==＞0，即可得到结果．
解答：
解：〔1〕∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故答案为：平行；

〔2〕解：∵正比例函数y=k1x〔k1＞0〕与反比例函数y=的图象在第一象限相交于A，
∴k1x=，解得x=〔因为交于第一象限，所以负根舍去，只保存正根〕
将x=带入y=k1x得y=，
故A点的坐标为〔，〕同理那么B点坐标为〔，〕，
又∵OA=OB，
∴=，两边平分得得+k1=+k2，
整理后得〔k1﹣k2〕〔k1k2﹣1〕=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；

〔3〕∵P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕〔x2＞x1＞0〕是函数y=图象上的任意两点，
∴y1=，y2=，
∴a===，
∴a﹣b=﹣==，
∵x2＞x1＞0，
∴＞0，x1x2＞0，〔x1+x2〕＞0，
∴＞0，
∴a﹣b＞0，
∴a＞b．
点评：
此题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，比较代数式的大小，掌握反比例函数图形上点的坐标的特征是解题的关键．

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2022年7月14日