2014年高考文科数学大纲卷-答案.pdf

1/9 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）数学（文科）答案解析 一、选择题 1.【答案】B【解析】解：1,2,4,6,81,2,3,5,6,7 1,2,6MN，MN1,2,6，即MN中元素的个数为 3.【提示】根据 M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可.【考点】交集及其运算，集合中元素个数的最值.2.【答案】D【解析】解：角 的终边经过点(4,3)，4x，3y，225rxy.44cos55xr，故选：D【提示】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值.【考点】任意角的三角函数的定义.3.【答案】C【解析】解：由不等式组(2)0|1x xx可得2011xxx 或，解得01x，故选：C【提示】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求.【考点】一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，不等式组的解法.4.【答案】B【解析】解：如图，取 AD 中点 F，连接 EF，CF，E 为 AB 的中点，EFBD，则CEF为异面直线BD 与 CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点，CECF.设正四面体的棱长为 2a，则EFa，22(2)3CECFaaa.在CEF中，由余弦定理得：2223cos26CEEFCFCEFCE EF.故选：B 2/9 【提示】由 E 为 AB 的中点，可取 AD 中点 F，连接 EF，则CEF为异面直线 CE 与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值.【考点】异面直线及其所成的角.5.【答案】D【解析】解：3ln(1)yx，31exy，即3e1xy，3(e1)yx，所求反函数为3(e1)xy，故选：D【提示】由已知式子解出 x，然后互换 x、y 的位置即可得到反函数.【考点】反函数.6.【答案】B【解析】解：由题意可得，11 1 cos602a b ，21b，22(2)22|0ab ba bba bb，故选：B【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得a b、2b的值，可得(2)ab b的值.【考点】平面向量数量积的运算.7.【答案】C【解析】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有2615C种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有155C 种选法，则不同的选法共有15 575 种.故选 C【提示】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【考点】排列、组合及简单计数问题，排列、组合的实际应用.8.【答案】C【解析】解：由等比数列的性质可得2S，42SS，64SS成等比数列，即 3，12，615S 成等比数列，可得26123(S15)，解得663S.故选：C 3/9 【提示】由等比数列的性质可得2S，42SS，64SS成等比数列，代入数据计算可得.【考点】等比数列的前 n 项和.9.【答案】A【解析】解：1AFB的周长为4 3，44 3a，3a，离心率为33，1c，222bac，椭圆 C 的方程为22132xy.【提示】利用1AFB的周长为4 3，求出3a，根据离心率为33，可得1c，求出 b，即可得出椭圆的方程.【考点】椭圆的简单性质.10.【答案】A【解析】解：设球的半径为 R，则 棱锥的高为 4，底面边长为 2，222(4)(2)RR，94R，球的表面积为2981444.故选：A 【提示】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高1PO上，记为 O，求出1PO，1OO，解出球的半径，求出球的表面积.【考点】球内接多面体，球的体积和表面积.11.【答案】C【解析】解：22221(00)xyabab，的离心率为 2，2cea，双曲线的渐近线方程为byxa，不妨取byxa，即0bxay，则2ca，223bcaa，焦点(,0)F c到渐近线0bxay的距离为3，223bcdab，即223333223a caccaaa，解得2c，则焦距为24c，故选：C.【提示】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论.【考点】双曲线的简单性质.4/9 12.【答案】D【解析】解：(2)f x为偶函数，()f x是奇函数，(2)(2)(2)fxf xf x，即(4)()f xf x，(8)()f xf x，则(8)(0)0ff，(9)(1)1ff，(8)()fxf x，故选：D【提示】根据函数的奇偶性的性质，得到(8)()fxf x，即可得到结论.【考点】函数的值，函数的奇偶性，函数的周期性.二、填空题 13.【答案】160-【解析】解：根据题意，6(2)x的展开式的通项为66166(2)(2)(1)2rrrrrrrrrTC xC x ，令63r 可得3r，此时3333346(1)2160TC xx，即3x的系数是160-.故答案为160-.【提示】根据题意，由二项式定理可得6(2)x的展开式的通项，令 x 的系数为 3，可得3r，将3r 代入通项，计算可得34160Tx，即可得答案.【考点】二项式定理.14.【答案】32【解析】解：函数2213cos22sin2sin2sin12 sin22yxxxxx ，当1sin2x 时，函数y 取得最大值为32，故答案为：32.【提示】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为2132 sin22yx，再根据正弦函数的值域、二次函数的性质求得函数的最大值.【考点】正弦函数的定义域和值域，二次函数在闭区间上的最值.15.【答案】5【解析】解：由约束条件02321xyxyxy作出可行域如图，5/9 联立023xyxy，解得(1,1)C.化目标函数4zxy为直线方程的斜截式，得144zyx.由图可知，当直线144zyx 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大.此时max14 15z .故答案为：5.【提示】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【考点】简单线性规划.16.【答案】43【解析】解：设1l与2l的夹角为2，由于1l与2l的交点(1,3)A在圆的外部，且点 A 与圆心 O 之间的距离为1 910OA，圆的半径为2r，2sin10rOA，2 2cos10，sin1tancos2，2142tan14tan21tan13，故答案为：43.【提示】设1l与2l的夹角为2，由于1l与2l的交点(1,3)A在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sinrOA的值，可得cos、tan的值，再根据22tantan21tan，计算求得结果.【考点】两直线的夹角与到角问题.三、解答题 17.【答案】（）由2122nnnaaa得，2112nnnnaaaa，由1nnnbaa得，12nnbb，即12nnbb，又1211baa，所以 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列.（）由（）得，1 2(1)21nbnn，由1nnnbaa得，121nnaan，则211aa，323aa，6/9 435aa，12(1)1nnaan-，所以，21(1)(1+2n 3)135.2(1)1(1)2nnaann -，又11a，所以na的通项公式22(1)122nannn.【提示】（）将2122nnnaaa变形为：2112nnnnaaaa，再由条件得12nnbb，根据条件求出1b，由等差数列的定义证明 nb是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出nb，代入1nnnbaa并令 n 从 1 开始取值，依次得1n(）个式子，然后相加，利用等差数列的前 n 项和公式求出na的通项公式na.【考点】数列递推式，等差数列的通项公式，等差关系的确定.18.【答案】34【解析】解：3 cos2 cosaCcA，由正弦定理可得3sincos2sincosACCA，3tan2tanAC，1tan3A，12tan313C ，解得1tan2C.11tantan32tantan()tan()1111tantan132ABBACACAB ，(0)B,，34B 【提示】由3 cos2 cosaCcA，利用正弦定理可得3sincos2sincosACCA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tantan()tanBABAB即可得出.【考点】正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用.19.【答案】（）1ADABC平面，111ADAACC平面，11AACCABC平面平面，又BCAC 11BCAACC平面，连结1AC，由侧面11AACC为菱形可得11ACAC，由三垂线定理可得11ACAB；（）11BCAACC平面，11BCBCC B平面，1111AACCBCC B平面平面，作11AECC，E 为垂足，可得111AEBCC B平面，又直线111AABCC B平面，1AE为直线1AA与平面11BCC B的距离，即13AE，1AC为1ACC的平分线，113ADAE，作DFAB，F 为垂足，连结1AF，由三垂线定理可得1AFAB，1AFD为二面角1AABC的平面角，由22111ADAAAD可知 D 为 AC 中点，7/9 1525ACBCDF，11tan15ADAFDDF，二面角1AABC的大小为arctan 15.【提示】（）由已知数据结合三垂线定理可得；（）作辅助线可证1AFD为二面角1AABC的平面角，解三角形由反三角函数可得.【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 20.【答案】（）0.31（）3【解析】解：（）由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为：0.6 0.5 0.5 0.4(1 0.6)0.5 0.5 0.40.61 0.50.5 0.40.6 0.5(1 0.5)0.40.6 0.5-（-）-0.5(1 0.4)0.31-.（）由（）可得若2k，则“同一工作日需使用设备的人数大于 2”的概率为0.310.1，不满足条件.若3k，则“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为0.6 0.5 0.5 0.40.060.1，满足条件.故 k 的最小值为 3.【提示】（）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加，即得所求.（）由（）可得若2k 不满足条件.若3k，求得“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为0.060.1，满足条件，从而得出结论.【考点】相互独立事件的概率乘法公式.21.【答案】（）见解析（）5,0(0,)4【解析】解：（）函数32()33f xaxxx，2()363fxaxx，令，即23630axx，则3 6(1)a 8/9 若1a 时，则0，()0fx，()f x在 R 上是增函数；因为0a，当1a，0，()0fx方程有两个根，111axa，211axa，当01a时，则当2()xx,或1(,)x 时，()0fx，故函数在2()x，或1()x，是增函数；在21(,)x x是减函数；当0a 时，则当1()xx,或2(,)x，()0fx，故函数在1()x，或2()x，是减函数；在12(,)x x是增函数；（）当0a，0 x 时，2()360fxaxx，故0a 时，()f x在区间(12),是增函数，当0a 时，()f x在区间(1 2),是增函数，当且仅当：(1)0f且(2)0f，解得504a，a 的取值范围5,0(0,)4.【提示】（）求出函数的导数，通过导数为 0，利用二次函数的根，通过 a 的范围讨论()f x的单调性；（）当0a，0 x 时，()f x在区间(12),是增函数，当0a 时，()f x在区间(12),是增函数，推出(1)0f且(2)0f，即可求 a 的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值.22.【答案】（）24yx（）10 xy 或10 xy 【解析】解：（）设点 Q 的坐标为0(),4x，把点 Q 的坐标代入抛物线 C：22ypx(0)p，可得08xp，点 P(0 4),，8PQP.又0822ppQFxp，5|PQ|4QF，88524ppp，求得2p，或2p （舍去）.故 C 的方程为24yx.（）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，设 l 的方程为1(0)xmym，代入抛物线方程可得2440ymy，124yym，124y y.AB 的中点坐标为 D2(212)mm,，弦长21ABm212|4(1)yym.又直线 l的斜率为m，直线 l的方程为2123xymm.过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，把线 l的方程代入抛物线方程可得2244(23)0yymm，9/9 344yym，2344(23)y ym.故线段 MN 的中点 E 的坐标为222223,mmm，22342214(1)211mmMNyymm，MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于12AEBEMN，22211|44EADBMN，2222224222216(1)(21)224(1)mmmmmmm，化简可得210m ，1m直线 l 的方程为10 xy，或10 xy.【提示】（）设点 Q 的坐标为0(),4x，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得08xp，根据5|PQ|4QF 求得 p 的值，可得 C 的方程.（）设 l 的方程为1(0)xmym，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长AB.把直线 l的方程线 l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得MN.由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于12AEBEMN，求得 m 的值，可得直线 l 的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.