大学生数学竞《解析几何》培训讲义.pdf

<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;">‍</span>几何复习题大学生数学竞赛解析几何培训讲义大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章第三章平面与空间直线平面与空间直线一、本章知识脉络框图一、本章知识脉络框图方程平面的方程截距式方程一般式方程法线式方程对称式方程参数式方程直线的方程一般式方程射影式方程点位式方程点法式方程-1-平面束的方程平面与点的位置关系两平面的位置关系位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离两平面的交角度量关系空间直线与平面间的角几何复习题二、本章重点及难点二、本章重点及难点空间两直线的夹角解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：平面的各种形式的方程及其相互转换；直线的各种形式的方程及其相互转换；点、平面及直线的关系.本章的难点是：点与平面的离差，平面划分空间问题；向量式方程的运用；灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点三、本章的基本知识要点1.1.平面的方程平面的方程在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：空间的两条相交直线可以确定准一的平面，垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线 通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程(1)(1)向量式方程：向量式方程：r roua vb (3.1)其中 u,v 为参数在仿射坐标系下，roxo,yo,zo，r x,y,z，a X1,Y1,Z1,b X2,Y2,Z2将它们代人式(31)，可得到下述参数式方程(2)(2)参数式方程参数式方程x xo X1u X2vy yOY1u Y2v (3.2)z z Z u Z vO12 由于向量r ro,a,b共面，可以得到下述混合积方程(3)(3)混合积方程：混合积方程：(r ro,a,b)0（3.3）-2-几何复习题将对应的向量的坐标代入式(3.3)中，可得到下述点位式方程(4)(4)点位式点位式(或行列式或行列式)方程方程x xoX1X2y yoY1Y2z zoZ1Z2 0 (3.4)将式(34)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程(5)(5)一般方程一般方程(或称为普遍式方程或称为普遍式方程)Ax By Cz D 0 (3.5)这是一个三元一次方程当D 不等于零时，可以得到下述截距式方程(6)(6)裁距式方程裁距式方程xyz1（3.6）abc为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点Mo 的径矢OM0 r0 x0,y0,z0，平面上任意一点 M 的径矢OM r x,y,z以及平面的法向量n A,B,C，由于M0M n，所以通过n(r r0)0(37)可以得到平面的点法式方程(7)(7)点法式方程点法式方程A(x x0)B(y y0)C(z z0)0（3.8)格式(3.8)展开整理后，仍可以得到与式(35)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢将取自原点 O 出发，垂直于平面的矢量指定为平面的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面上任意点 M 的径矢OM r x,y,z与平面的单位法矢n0cos,cos,cos有下面的关系：n0r p(39)其中 p 是非负的是原点 O 到平面的距离将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程(8)(8)法式方程法式方程xcos ycos zcos p 0（3.10）将一般方程Ax By Cz D 0转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子11 nA2 B2C2-3-几何复习题其中的正负号选取应满足D p 0，即D 0时，取与 D 异号，当D=0 时，取与第一个变量的系数同号例如，A 0取A 0(9)(9)三点式方程三点式方程x x1x2 x1x3 x1y y1y2 y1y3 y1z z1z2 z1 0（3.11）z3 z1这个方程可以看做与式(34)为同一类2 2平面与点的相关位置平面与点的相关位置(1)点M0与平面间的离差 n0r p（3.12）其中n为原点指平面的单位法矢矢,OM0 r0,p 为原点 O 到平面的距离式(312)也可以写成代数表达式0s y0c o sz0c o s p(313)x0c o原点O(0,0,0)与平面间的离差为 p，反映出原点 O、平面、及其单位法矢n0之间的关系点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向 在平面同侧的点，的符号相同；对于在平面异仍的点，的符号相反；平面上的点，等于零点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点M0(x0,y0,z0)与平面Ax By Cz D 0间的距离为d Ax0 By0Cz0 DA B C222（3.14）3.3.两平面的相关位置两平面的相关位置空间两平面1:A1x B1y C1z D1 02:A2x B2y C2z D2 0有以下的关系：（1）1与2相交 A1:B1:C1 A2:B2:C2(2)1与2平行A1B1C1D1A2B2C2D2A1B1C1D12B2C2D2A(3)1与2重合2)在空间直角坐标系下，两平面1与2间的交角是用两平面二面角的平面角(1，-4-几何复习题来表示，并且常取其中的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系，记(n1,n2)，可以得到n1n2cos(1,2)cos n1n2同时，两平面1与2垂直的充要条件是A1A2 B1B2C1C2 0A1A2 B1B2C1C2A B C212121A B C222222 (3.15)4 4空间直线的方程空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量 因此，在空间取定坐标系，并设直线l上一定点 Mo 的径矢OM0 r0 x0,y0,z0，直线l上任意点 M 的径矢为r x,y,z，直线l的方向向量v，可以得到直线l的向量式方程“（1 1）向量式方程）向量式方程r rotv (3.16)其中 t 为参数（2 2）参数方程）参数方程x xo Xty yOYt (3.17)z z ZtO由式(3.17)梢去参数 t，可以得到直线l的对称式方程(3)(3)对称式方程对称式方程(或称直线或称直线l的标准方程的标准方程)x x0y y0z z0 (3.18)XYZ在式(318)中，方向效X,Y,Z是一组不全为零的数如果其中有一个为零，例如X 0此时，可以设x x0z z0y y0ZY如果其中有两个数为零，例如X 0,Y 0，此时可以设x x0y y0这样可以得到相对应的直线方程-5-几何复习题通过空间两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，可以得到直线的两点式方程(4)(4)两点式方程两点式方程x x1y y1z z1（3.19）x2 x1y2 y1z2 z1空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程(5)(5)直线的一般方程直线的一般方程 A1x B1y C1z D1 0 (3.20)A2x B2y C2z D2 0其中系数A1:B1:C1 A2:B2:C2。可以通过式(3.20)求出直线l的方向向量的三个方向数，即X:Y:Z B1B2C1C2:C1C2A1A2:A1A2B1B2虽然直线l上点无穷多，但我们只需求出一个点M0(x0,y0,z0)，当其中两个变量的系数所构造的二阶行列式不为零时，例如A1A2B1B2 0 那么第三个变量就可以任意取定数值z z0(特别地可取z 0)这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以解出x x0，y y0，这时就解出直线l上一个点M0(x0,y0,z0)有了直线l上的点M0和方向矢量v，就可以得到直线l的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)(6)射影式方程射影式方程x x0y y0XY（3.21）y yz z00ZY式(321)中的两个方程表示了两个过直线l的特殊平面，它们分别平行于坐标轴 y 轴和 x 轴5 5平面束平面束(1)(1)有轴平面束有轴平面束若两个平面1:A1x B1y C1z D1 02:A2x B2y C2z D2 0-6-几何复习题相交于一直线l，那么过直线l的所有平面的方程可以表示为A1x B1y C1z D1(A2x B2y C2z D2)0 (3.22)为避免出现无穷的情况，也可以取m，方程(322)可以写成n n(A1x B1y C1z D1)m(A2x B2y C2z D2)0 (3 23)这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线l为平面束的轴(中心轴)只要一个定解条件就可以求出的值，或 m：n 的值(2)(2)平行平面束平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为Ax By Cz 0 (324)其中 A 是实参数，系数 A，B，C 是已知的(324)式也是一个单参数平面族6 6直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置设直线l与平面的方程分别为l：x x0y y0z z0XYZ：Ax By Cz D 0(1)直线l与平面有以下的关系：10l与相交 AX BY CZ 0AX BY CZ 02l与平行Ax By Cz D 00000AX BY CZ 030l在上Ax0 By0Cz0 D 0(2)直线l与平面相交时，将直线l的方程改写为参数式x xo Xty yOYtz z ZtO并将其代人平面的方程中解参数 t 的值：t Ax0 By0Cz0 DAX BY CZ上式中分母AX BY CZ 0 将t值代回直线l的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下 直线l与平面间的夹角可以由l的方向矢量v和平面的法矢n-7-几何复习题间的夹角来决定，即 nvsin cos n v直线l与平面垂直AX BY CZA B C222XY Z222ABCXYZ7 7空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置设两直线l1与l2的方程分别为l1:x x1y y1z z1X1Y1Z1x x2y y2z z2X2Y2Z2l2:(1)空间两直线l1与l2有以下的位置关系：x2 x1y2 y1Y1Y2z2 z1Z1Z2 010l1与l2异面 X1X2 020l1与l2相交X1:Y1:Z1 X2:Y2:Z2 03l1与l2平行X:Y:Z X:Y:Z (x x):(y y):(z z)2222121211110 040l1与l2重合X1:Y1:Z1 X2:Y2:Z2(x2 x1):(y2 y1):(z2 z1)(2)空间两直线的夹角 空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系：(l1,l2)(v1,v2)或(l1,l2)(v1,v2)通常取(l1,l2)为锐角在直角坐标系下，空间两直线l1与l2的夹角余弦为 v1v2cos(l1,l2)v1v2X1X2Y1Y2 Z1Z2XY Z212121XY Z222222直线l1与l2垂直 X1X2Y1Y2 Z1Z2 0（3）两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下，两异面直线l1与l2之间-8-几何复习题的距离为d v1v2两异面直线l1与l2的公垂线l0的方程为x x1y y1z z1Y1Z1 0X1YZXx xy yz 222X2Y2Z2 0YZX其中 x，y，Z 是公垂线l0的方向数8 8空间一点到一直线的距离空间一点到一直线的距离在空间直角坐标系下设空间一点M0(x0,y0,z0)和直线l：的距离x x1y y1z z1XYZv M1M0d v四、基本例题解题点击四、基本例题解题点击x2 y2 z2 4【例例 1 1】求空间圆的半径.x y z 3 0【提示【提示】园的方程通常用球的方程和平面方程联立方程组表示。几何上来说，园可以看成球与平面的交线。利用球的半径和球心到平面的距离就可求出园的半径。【解】【解】球心为原点，半径为2,球 心 到 平 面 的 距 离 为d=3,圆的半径为r 4d21【例例 2 2】求在直线xyz上并且与原点相距 5 个单位的点的坐标340【提示【提示】用到直线上的点，一般可考虑用直线的参数方.【解】【解】设所求点为P(x0,y0,z0)，则-9-几何复习题x0 3ty0 4tz 00又因为 P 点与原点相距 5 个单位,所以222x0 y0 z0 5求出t 1所以所求点的坐标为（3，4，0）或（-3，-4，0）【例例 3 3】求点P(2,0,1)关于直线l:【解】【解】已知直线的方向向量为x y 4z 12 0的对称点.2x y 2z 3 0v 2,2,1设所求点P的坐标为（a，b，c）,则PP的中点在直线上且PP v所以c 1a 2b 412 0222c 1 a 2b2 23 02222(a 2)2b(c 1)0求出P点的坐标为P（0，2，7）【例例 4 4】求通过直线x5yz0 xz40且与平面x 4y 8z 12 0成角的平面方程.4【解】【解】利用有轴平面束的方程的过已知直线的平面方程为n(x 5y z)m(x z 4)0即(n m)x 5ny (n m)z 4m 0由于所求平面与已知平面的交角为，所以利用两平面间的交角公式得4-10-几何复习题(n m)45n 8(n m)(n m)(5n)(n m)计算并化简得22281 cos43n2 4mn 0求出n 0或n:m 4:3所以所求平面为x z 4 0或x 20y 7z 12 0【提示及点评提示及点评】注意如果有轴平面束的方程是用(x 5y z)(x z 4)0，那么会有无穷的情况.学好数学要有良好的计算能力.【例例 5 5】求过点 P（2，0，-1）且与直线l0:x 5y 7z垂直相交的直线方程.2 21【解】【解】设所求直线l的方向数为X,Y,Z，利用两直线共面的充要条件得2(5)07102X即 2Y1Z 0X Y 0（1）再利用l与l0垂直得2X 2Y Z 0（2）由（1）（2）解得X:Y:Z 1:1:4所以所求直线方程为l:x 2yz 1114【知识扩展提示知识扩展提示】利用直线作为两个平面的交线，上述问题能转化为求两个平面的问题。一个平面是l与l0所在的平面，另一个平面是过P 点且垂直l0的平面.也可以考虑用两点确定直线.【例例 6 6】.过P(a,b,c)作三个坐标面的射影，求过这三个射影点的平面方程.【解】【解】P 在三个坐标面上的射影分别为(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c),故由平面的三点式方程得-11-几何复习题x a0 ay bz 0b bc 0 0a a0bc 0所求平面为xyz 2abc【例例 7 7】已知平面1:x 2y 2z 0及平面2:4x 3y 12z 13 0(1)证明原点在这两平面构成的锐角二面角内；(2)求平分角面方程，并判定哪一个平分钝角二面角.【解】【解】(1)设是原点向平面1和2所引的平面法向量的交角。如果是钝角，那末含原点的二面角是锐角.为此，求出平面1及平面2的法线式方程1;122x y z 3 033343122:x y z 1 01313131423212cos()()03133 13313所以这表示是钝角因此，合原点的二面角是锐角.(2)平面1和2交成的二面角的平分角面就是到1和2的距离相等的点的轨迹。因此，所求平分角面的方程为11(x 2y 2z 9)(4x 3y 12z 13)313即x 35y 10z 156 0或25x 17y 62z 78 0由于含原点的二面角内的点到1和2的离差异号，而由本题(1)可知，含原点的二面角是锐角，因此平面为25x 17y 62z 78 0是平分锐角二面角，另一个平面平分钝角二面角.【例例 8 8】决定参数 k 的值，使平面x ky 2z 9 0分别满足下列条件：(1)与平面2x 4y 3z 3 0垂直 (2)与平面2x 3y z 14 0交成 45 度的角-12-几何复习题 (3)与原点的距离为 3【解】【解】(1)要使平面x ky 2z 9 0与平画2x 4y 3z 3 0垂直，必须这两个平面的法向量垂直，即l 2 十 k4+(一 2)30从而k=1（2）由两平面的交角公式得cos412 k(3)(2)11 k(2)1702222(3)122从而解得k （3）平面x ky 2z 9 0的法线式方程为15 k2(x ky 2z 9)0从而，由平面法线式方程中常数项的几何意义得95 k解得2 3k 2【例例 9 9】.求与平面1；2x 6y 3z 12 0平行的平面2，使点 P(0，2，一 1)到1与2的距离相等.【解】【解】设2的方程为2x 6y 3z D 0过 P 作平行于 z 轴的直线交1于P1(0,2,z1)，交2于P2(0,2,z2)由1，2方程可得1z1 8，z2(D 12)3由 P 为P1P2的中点，求出D=-42所以2的方程为2x 6y 3z 42 0-13-几何复习题【例例 1010】一平面与空间四边形ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 分别交于 P，Q，R，S则APBQ CRDS1PB QCRDSA【证明】【证明】设四个顶点坐标为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)平面的方程为Ax By Cz D 0（1）它与 AB 的交点 P（其坐标设为(x0,y0,z0)分线段 AB 的比为APPB则由定比分点公式得x1x2y y0 x1,y12z z201,z011此点应在平面（1）上，因此A(x1x2)B(y1y2)C(z1z2)D(1)0解得 Ax1 By1Cz1 DAx2 By2Cz2 D同理可求得BQAx ByQC 22Cz2 DAxCz3 By33 DCRRD Ax3 By3Cz3 DAx4 By4Cz4 DDSAx BySA 44Cz4 DAxCz1 By11 D上面四式两边相乘可得APPBBQQCCRRDDSSA1五、扩展例题解题点击五、扩展例题解题点击-14-几何复习题【例例 1 1】若直线l1:xyz 1绕l2:x y z旋转，求直线l1上的定点 P（4，2102，1）所生成的纬圆方程.【解】【解】此园既在过 P 点且垂直l2的平面上，又在以l2上的点O(0,0,0)为球心，O到 P 的距离为半径长的球面上.用平面的点法式求出平面的方程为x y z 7 0O到 P 的距离为21所以球的方程为x2 y2 z2 21因此所生成的纬圆方程是 x y z 7 0222x y z 21【例例 2 2】已知一正方体二侧面的方程分别为1:x 2y 2z 4 0，2:2x 2y z 13 0其中心为 M(1，1，一 2)，求其它各面方程.【解】【解】正方体二侧面1:x 2y 2z 4 0，2:2x 2y z 13 0为相邻的侧面，求出1到 M 的距离为73由此得与1相对的侧面为x 2y 2z 10 0与2相对的侧面为2x 2y z 1 0易知第三对侧面法向量为1,2,22,2,1 32,1,2可设第三对侧面之一方程为2x y 2z D 0则由17214 D 解得33D=-4 或 D=10，-15-几何复习题故第三对侧面为2x y 2z 4 0与2x y 2z 10 0【例例 3 3】过点M。(x0,y0,z0)作 OM。的垂直平面，设与坐标轴的交点分别为A，B，C，求证三角形 ABC 的面积为d52x0y0z0其中d为O与M的距离.【证明】【证明】由已知条件，平面的法向量可取为OM0于是由平面的点法式方程得平面的方程为x0(x x0)y0(y y0)z0(z z0)0即x0 x y0y z0z d2 0它与三个坐标轴的交点分别为d2d2d2A(,0,0),B(0,0),C(0,0,)x0y0z0于是SABCd241d4111AB AC(222222)222y0z0z0 x0 x0y0 x y zx0y0z02020201d2 x0y0z05【例例 4 4】已知不在坐标平面上一点P(a,b,c).在 x 轴、y 轴、z 轴上分别求 A，B，C，使它们与 P 的连线两两互相垂直，并证明平面ABC 平分原点与 P 的连线 OP.【证证 明明】因 点 A，B，C 在 坐 标 轴 上，故 可 设 它 们 的 坐 标 分 别 为A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z)于是可得AP a x,b,cBP a,b y,cCP a,b,c z-16-几何复习题由已知条件，这三个向量两两垂直，于是有APBP BPCP CP AP 0即ax by(a2b2 c2)0by cz(a2b2 c2)0cz ax(a2b2 c2)0由此解得a2b2 c2x 2aa2b2 c2y 2ba2b2 c2z 2c故 A,B,C 的坐标分别为a2b2 c2a2b2 c2a2b2 c2A(,0,0),B(0,0),C(0,0,)2a2b2c根据平面的截距式，得到平面ABC 的方程为2ax 2by 2cz a2b2 c2而 OP 的中点为a b c(,)2 2 2此点的坐标满足上述平面的方程，故平面ABC 平分 0P.【例例 5 5】过四面体三个面的重心所作的平面必与第四面平行，试证明.【证明】【证明】设四面体的四顶点为Ai，i=1，2，3，4.三个侧面的重心分别为P1，P2，P3.则1P1(A1 A2 A3)31P2(A2 A3 A4)31P3(A3 A4 A1)3-17-几何复习题过三个面重心的平面方程为(PP1,PP2,PP3)0即(P2P3 P3P1 P1P2)P (P1,P2,P3)因此此平面的法向量为N P2P3 P3P1 P1P2(1)而第四面A2A3A4的法向量为N (A3 A2)(A3 A4)即N (A2 A3 A3 A4 A4 A2)(2)将P1,P2,P3的表达式代入（1）得 1(A1 A2 A3)(A1 A2 A4)(A1 A2 A4)N 27(A1 A3 A4)(A1 A3 A4)(A1 A2 A3)11=(A2 A3 A3 A4 A4 A2)N2727于是过四面体三个面的重心P1，P2，P3所作的平面必与第四面平行.【例例 6 6】一平面与坐标轴交于 A，B，C 三点，则从原点向这平面所引垂线之垂足 H是三角形 ABC 的垂心，试证明之.【证明】【证明】设已知平面与坐标轴交点的坐标分别为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，于是这个平面的方程为xyz1abc原点O(0,0,0)在这个平面上的投影为p2p2p2H(,)abc其中 p 为原点到平面的距离，而且11112222abcp于是-18-几何复习题AH 而p2p2p2 a,abcBC 0,b,c由于p2p2p2AH BC (a)0(b)c 0abc所以AH BC同理可证BH CA，CH AB，故 H 点是三角形 ABC 的垂心.【例例 7 7】求两相交直线l1:xyz011xyzl2:101的交角平分线的方程.【解】【解】根据等腰三角形底边上的中线就是顶角平分线的性质来考虑.由于所给直线的交点为O(0,0,0)，直线l1与l2的方向向量分别为0,1,1与1,0,1.沿直线l1及l2取三点M1，M2，M3使OM1 OM2 OM3为此取M1(0,1,1)，M2(1,0,1)，M3(1,0,1)于是M1M2，M1M3的中点分别为1 11 1M0(,1)，M0(,0)2 22 2从而 OM。及 OM。就是所求的角平分线，它们的方程分别为【例例 8 8】设动平面在三个坐标轴上的截距的倒数和为一非零常数，则动平面必过定点，试证之.xyzxyz和112110-19-几何复习题【证明】【证明】设动平面在三个坐标轴的截距分别为a,b,c，由题设a,b,c都不等于零，故动平面的方程为xyz1abc又111 A（非零常数）abc所以111AAA1abc111由此知动平面过定点(,).A A A【例例 9 9】在平面:2x 3y 4z 9 0上，求过点（1，1，1）且与xoy面有最大角的直线.【解】【解】设直线的方向数为X:Y:1,则直线的方程为l:x 1y 1z 1XY1由于直线在平面:2x 3y 4z 9 0上所以2X 3Y 4 0（1）设直线与xoy面的交角为，则sin由（1）得1XY122 (2)1Y (2X 4)3把它代入（2）式得sin11X2(2X 4)219要最大，只有11X2(2X 4)21最小，也就是要X2(2X 4)21最小.99由二次函数的性质求得X 8122时，X(2X 4)1最小.139-20-几何复习题从此解得Y 1213因此所求直线的方程为l:x 1y 1z 181213【例例 1010】设直线l:A1x B1y C1z D1 0与x轴异面，求证l与x轴之间的距离A2x B2y C2z D2 0d A1D2 A2D1(B1A2 B2A1)(C1A2C2A1)22【证明】【证明】由于l与x轴异面，所以A1,A2不全为零.设l与x轴的公垂线为 PQ，其P,Q 分别在l和x轴上.由于PQ与x轴垂直，所以PQ的第一分量为零.过直线l的平面束为n(A1x B1y C1z D1)m(A2x B2y C2z D2)0其中有唯一一个平面垂直于PQ.令nA1 mA2 0求出n:m A2:A1因此垂直于PQ的平面方程是(B2A1 B1A2)y (C2A1C1A2)z (D2A1 D1A2)0显然d PQ即为Q到这个平面的距离，设Q(x,0,0)由点到平面的距离公式就得d A1D2 A2D1(B1A2 B2A1)(C1A2C2A1)22六、本章训练题及提示六、本章训练题及提示-21-几何复习题【训练题训练题 1 1】求含y铀，且与点(2，7，3)和W(1,1,0)等距离的平面.【提示提示】含y铀的平面可设为AxCz 0【训练题训练题 2 2】已知点P(2,0,1)和直线l:x 5y 7z，求l上的点Q使PQ垂直2 21l.【训练题训练题 3 3】求过点（0，-1，0），（0，0，1）且与xoy面成 60 度角的平面方程.【提示提示】用平面的截距式方程y z 1 0【训练题训练题 4 4】在平面x y z 1 0内求垂直于直线的直线方程.x 2z 0【提示提示】满足条件的直线是一族平行直线【训练题训练题 5 5】平行六四体三面方程为x 4y 3,2x y z 3,3x y 2z 0，其一顶点为(37一 2)，求其它三面的方程.【提示提示】注意点(37一 2)不在三个已知平面上，因此在三个所求平面上【训练题训练题 6 6】求正方体两对角线的交角.【提示提示】建立适当的空间直角坐标系【训练题训练题 7 7】证明直线lx my nz mx ny lz nx ly mz的三个方向角相等.【提示提示】直线过点（0，0，0）及（1，1，1）.【训练题训练题 8 8】设l1与l2为两异面直线，L,M 分别为l1，l2上任意的一点，证明：LM 中点的轨迹是l1与l2的公垂线线段的中垂面.【提示提示】注意利用向量式的参数方程【训练题训练题 9 9】试证：四平面1:lx my 1，2:my nz 1，3:lx nz 14:lx my nz 1(lmn 0)所围成的四面体体积为V 1.12lmn【提示提示】求出四面体的四个顶点的坐标-22-几何复习题【训练题训练题 1010】求与两直线l1:x 2y 3z1，l22312x 2y 1平行且等距的平:z y 3面方程.【提示提示】两直线的方向向量取作所求平面的方位向量，两直线上各取一点所连线段的中点是所求平面上的点.【训训练练题题 1111】证明空间中满足条件axby cz的点位于两平行平面2ax by cz 2 0之间.【提示提示】不等式axby cz等价于ax by cz222ax by cz 2 0即2ax by cz 0故满足条件的点（x,y,z）与原点位于平面ax by cz 0的同侧，而原点位于此两平面之间，故满足条件的点也位于此两平面之间.【训练题训练题 1212】求直线l:2x 2yz关于平面:2x 2y z 10 0的对称直111线的方程.【训练题训练题 1313】设三角形的顶点为 A(1,2,3),B(3,4,1),C(-1,0,1)，求这个三角形的外接圆圆心.【训练题训练题 1414】已知两定平面1,2，两定点P1,P2.如果1,2到P1的离差的代数和等于它们到P2的离差的代数和，则线段P1P2上任意一点P与两平面的离差的代数和必为常数.【提示提示】设两定平面的方程分别为1:n1r d1 02:n2r d2 0用i(A)表示i到点A的离差，则 i(Pj)niOPjdi,i,j 1,2设线段P1P2上任意一点P，OP OP1OP21-23-几何复习题【训练题训练题 1515】如以动平面到 n 个定点的离差的代数和为零，则动平面必过一定点.【提示提示】动平面的方程用向量式法式方程-24-</p>