大学生数学竞《解析几何》培训讲义.pdf
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1、几何复习题大学生数学竞赛解析几何培训讲义大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章第三章平面与空间直线平面与空间直线一、本章知识脉络框图一、本章知识脉络框图方程平面的方程截距式方程一般式方程法线式方程对称式方程参数式方程直线的方程一般式方程射影式方程点位式方程点法式方程-1-平面束的方程平面与点的位置关系两平面的位置关系位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离两平面的交角度量关系空间直线与平面间的角几何复习题二、本章重点及难点二、本章重点及难点空间两直线的夹角解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力,而且更要有
2、一些必要的代数知识,特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间直线来说,图形的认知应该是比较容易的,关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程,比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是:平面的各种形式的方程及其相互转换;直线的各种形式的方程及其相互转换;点、平面及直线的关系.本章的难点是:点与平面的离差,平面划分空间问题;向量式方程的运用;灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量,平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点三、本章的基本知识要点1.1.平面的方
3、程平面的方程在中学的立体几何中,读者知道了一个公理:空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面,还知道两个定理:空间的两条相交直线可以确定准一的平面,垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线 通过上述的知识和利用矢量运算,可以得到以下平面的方程(1)(1)向量式方程:向量式方程:r roua vb (3.1)其中 u,v 为参数在仿射坐标系下,roxo,yo,zo,r x,y,z,a X1,Y1,Z1,b X2,Y2,Z2将它们代人式(31),可得到下述参数式方程(2)(2)参数式方程参数式方程x xo X1u X2vy yOY1u Y2v (3.2)z z Z u Z vO12 由于向量
4、r ro,a,b共面,可以得到下述混合积方程(3)(3)混合积方程:混合积方程:(r ro,a,b)0(3.3)-2-几何复习题将对应的向量的坐标代入式(3.3)中,可得到下述点位式方程(4)(4)点位式点位式(或行列式或行列式)方程方程x xoX1X2y yoY1Y2z zoZ1Z2 0 (3.4)将式(34)中的行列式按第一行展开,可得到下述一般方程(5)(5)一般方程一般方程(或称为普遍式方程或称为普遍式方程)Ax By Cz D 0 (3.5)这是一个三元一次方程当D 不等于零时,可以得到下述截距式方程(6)(6)裁距式方程裁距式方程xyz1(3.6)abc为了便于讨论点到平面的距离和
5、点与平面的位量关系,将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点Mo 的径矢OM0 r0 x0,y0,z0,平面上任意一点 M 的径矢OM r x,y,z以及平面的法向量n A,B,C,由于M0M n,所以通过n(r r0)0(37)可以得到平面的点法式方程(7)(7)点法式方程点法式方程A(x x0)B(y y0)C(z z0)0(3.8)格式(3.8)展开整理后,仍可以得到与式(35)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置,需要指定平面的法矢将取自原点 O 出发,垂直于平面的矢量指定为平面的法矢,有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面上任意点
6、 M 的径矢OM r x,y,z与平面的单位法矢n0cos,cos,cos有下面的关系:n0r p(39)其中 p 是非负的是原点 O 到平面的距离将式(3 9)中各矢量的坐标代入,可得到下述的法式方程(8)(8)法式方程法式方程xcos ycos zcos p 0(3.10)将一般方程Ax By Cz D 0转化为法式方程时,需要在方程两边同时乘上法化因子11 nA2 B2C2-3-几何复习题其中的正负号选取应满足D p 0,即D 0时,取与 D 异号,当D=0 时,取与第一个变量的系数同号例如,A 0取A 0(9)(9)三点式方程三点式方程x x1x2 x1x3 x1y y1y2 y1y3
7、 y1z z1z2 z1 0(3.11)z3 z1这个方程可以看做与式(34)为同一类2 2平面与点的相关位置平面与点的相关位置(1)点M0与平面间的离差 n0r p(3.12)其中n为原点指平面的单位法矢矢,OM0 r0,p 为原点 O 到平面的距离式(312)也可以写成代数表达式0s y0c o sz0c o s p(313)x0c o原点O(0,0,0)与平面间的离差为 p,反映出原点 O、平面、及其单位法矢n0之间的关系点与平面间的离差是一个代数值,它的正负号反映出点在平面的侧向 在平面同侧的点,的符号相同;对于在平面异仍的点,的符号相反;平面上的点,等于零点与平面向的离差公式(3.1
8、3)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理,两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点M0(x0,y0,z0)与平面Ax By Cz D 0间的距离为d Ax0 By0Cz0 DA B C222(3.14)3.3.两平面的相关位置两平面的相关位置空间两平面1:A1x B1y C1z D1 02:A2x B2y C2z D2 0有以下的关系:(1)1与2相交 A1:B1:C1 A2:B2:C2(2)1与2平行A1B1C1D1A2B2C2D2A1B1C1D12B2C2D2A(3)1与2重合2)在空间直角坐标系下,两平面1与2间的交角是用两平面二面角的平面角(1,-4-几何复习题来表示,并且常取其中
9、的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系,记(n1,n2),可以得到n1n2cos(1,2)cos n1n2同时,两平面1与2垂直的充要条件是A1A2 B1B2C1C2 0A1A2 B1B2C1C2A B C212121A B C222222 (3.15)4 4空间直线的方程空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理:空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量 因此,在空间取定坐标系,并设直线l上一定点 Mo 的径矢OM0 r0 x0,y0,z0,直线l上任意点 M 的径矢为r x,y,z,直线l的方向向量v,可以得到直线l的向量式方程“
10、(1 1)向量式方程)向量式方程r rotv (3.16)其中 t 为参数(2 2)参数方程)参数方程x xo Xty yOYt (3.17)z z ZtO由式(3.17)梢去参数 t,可以得到直线l的对称式方程(3)(3)对称式方程对称式方程(或称直线或称直线l的标准方程的标准方程)x x0y y0z z0 (3.18)XYZ在式(318)中,方向效X,Y,Z是一组不全为零的数如果其中有一个为零,例如X 0此时,可以设x x0z z0y y0ZY如果其中有两个数为零,例如X 0,Y 0,此时可以设x x0y y0这样可以得到相对应的直线方程-5-几何复习题通过空间两点M1(x1,y1,z1)
11、和M2(x2,y2,z2),可以得到直线的两点式方程(4)(4)两点式方程两点式方程x x1y y1z z1(3.19)x2 x1y2 y1z2 z1空间直线可以看做是两个相交平面的交线,所以可以得到直线一般方程(5)(5)直线的一般方程直线的一般方程 A1x B1y C1z D1 0 (3.20)A2x B2y C2z D2 0其中系数A1:B1:C1 A2:B2:C2。可以通过式(3.20)求出直线l的方向向量的三个方向数,即X:Y:Z B1B2C1C2:C1C2A1A2:A1A2B1B2虽然直线l上点无穷多,但我们只需求出一个点M0(x0,y0,z0),当其中两个变量的系数所构造的二阶行
12、列式不为零时,例如A1A2B1B2 0 那么第三个变量就可以任意取定数值z z0(特别地可取z 0)这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解,可以解出x x0,y y0,这时就解出直线l上一个点M0(x0,y0,z0)有了直线l上的点M0和方向矢量v,就可以得到直线l的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程,由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)(6)射影式方程射影式方程x x0y y0XY(3.21)y yz z00ZY式(321)中的两个方程表示了两个过直线l的特殊平面,它们分别平行于坐标轴 y 轴和 x 轴5 5平面束平面束(1)(1)有轴平面束有轴平面束
13、若两个平面1:A1x B1y C1z D1 02:A2x B2y C2z D2 0-6-几何复习题相交于一直线l,那么过直线l的所有平面的方程可以表示为A1x B1y C1z D1(A2x B2y C2z D2)0 (3.22)为避免出现无穷的情况,也可以取m,方程(322)可以写成n n(A1x B1y C1z D1)m(A2x B2y C2z D2)0 (3 23)这是一个单参数的平面族,称为有轴平面束,直线l为平面束的轴(中心轴)只要一个定解条件就可以求出的值,或 m:n 的值(2)(2)平行平面束平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束,它们的方程可以表示为Ax
14、By Cz 0 (324)其中 A 是实参数,系数 A,B,C 是已知的(324)式也是一个单参数平面族6 6直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置设直线l与平面的方程分别为l:x x0y y0z z0XYZ:Ax By Cz D 0(1)直线l与平面有以下的关系:10l与相交 AX BY CZ 0AX BY CZ 02l与平行Ax By Cz D 00000AX BY CZ 030l在上Ax0 By0Cz0 D 0(2)直线l与平面相交时,将直线l的方程改写为参数式x xo Xty yOYtz z ZtO并将其代人平面的方程中解参数 t 的值:t Ax0 By0Cz0 DAX BY CZ上
15、式中分母AX BY CZ 0 将t值代回直线l的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下 直线l与平面间的夹角可以由l的方向矢量v和平面的法矢n-7-几何复习题间的夹角来决定,即 nvsin cos n v直线l与平面垂直AX BY CZA B C222XY Z222ABCXYZ7 7空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置设两直线l1与l2的方程分别为l1:x x1y y1z z1X1Y1Z1x x2y y2z z2X2Y2Z2l2:(1)空间两直线l1与l2有以下的位置关系:x2 x1y2 y1Y1Y2z2 z1Z1Z2 010l1与l2异面 X1X2 020l1与l2相交X1:Y
16、1:Z1 X2:Y2:Z2 03l1与l2平行X:Y:Z X:Y:Z (x x):(y y):(z z)2222121211110 040l1与l2重合X1:Y1:Z1 X2:Y2:Z2(x2 x1):(y2 y1):(z2 z1)(2)空间两直线的夹角 空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系:(l1,l2)(v1,v2)或(l1,l2)(v1,v2)通常取(l1,l2)为锐角在直角坐标系下,空间两直线l1与l2的夹角余弦为 v1v2cos(l1,l2)v1v2X1X2Y1Y2 Z1Z2XY Z212121XY Z222222直线l1与l2垂直 X1X2Y1Y2 Z1Z2 0(
17、3)两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下,两异面直线l1与l2之间-8-几何复习题的距离为d v1v2两异面直线l1与l2的公垂线l0的方程为x x1y y1z z1Y1Z1 0X1YZXx xy yz 222X2Y2Z2 0YZX其中 x,y,Z 是公垂线l0的方向数8 8空间一点到一直线的距离空间一点到一直线的距离在空间直角坐标系下设空间一点M0(x0,y0,z0)和直线l:的距离x x1y y1z z1XYZv M1M0d v四、基本例题解题点击四、基本例题解题点击x2 y2 z2 4【例例 1 1】求空间圆的半径.x y z 3 0【提示【提示】园的方程通常用球的方程和平面方程
18、联立方程组表示。几何上来说,园可以看成球与平面的交线。利用球的半径和球心到平面的距离就可求出园的半径。【解】【解】球心为原点,半径为2,球 心 到 平 面 的 距 离 为d=3,圆的半径为r 4d21【例例 2 2】求在直线xyz上并且与原点相距 5 个单位的点的坐标340【提示【提示】用到直线上的点,一般可考虑用直线的参数方.【解】【解】设所求点为P(x0,y0,z0),则-9-几何复习题x0 3ty0 4tz 00又因为 P 点与原点相距 5 个单位,所以222x0 y0 z0 5求出t 1所以所求点的坐标为(3,4,0)或(-3,-4,0)【例例 3 3】求点P(2,0,1)关于直线l:
19、【解】【解】已知直线的方向向量为x y 4z 12 0的对称点.2x y 2z 3 0v 2,2,1设所求点P的坐标为(a,b,c),则PP的中点在直线上且PP v所以c 1a 2b 412 0222c 1 a 2b2 23 02222(a 2)2b(c 1)0求出P点的坐标为P(0,2,7)【例例 4 4】求通过直线x5yz0 xz40且与平面x 4y 8z 12 0成角的平面方程.4【解】【解】利用有轴平面束的方程的过已知直线的平面方程为n(x 5y z)m(x z 4)0即(n m)x 5ny (n m)z 4m 0由于所求平面与已知平面的交角为,所以利用两平面间的交角公式得4-10-几
20、何复习题(n m)45n 8(n m)(n m)(5n)(n m)计算并化简得22281 cos43n2 4mn 0求出n 0或n:m 4:3所以所求平面为x z 4 0或x 20y 7z 12 0【提示及点评提示及点评】注意如果有轴平面束的方程是用(x 5y z)(x z 4)0,那么会有无穷的情况.学好数学要有良好的计算能力.【例例 5 5】求过点 P(2,0,-1)且与直线l0:x 5y 7z垂直相交的直线方程.2 21【解】【解】设所求直线l的方向数为X,Y,Z,利用两直线共面的充要条件得2(5)07102X即 2Y1Z 0X Y 0(1)再利用l与l0垂直得2X 2Y Z 0(2)由
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