(精编版)2019年北京中考数学习题:新定义型问题.pdf
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1、2019 年北京中考数学习题精选:新定义型问题一、选择题1、(2018 北京昌平区初一第一学期期末)用“”定义一种新运算:对于任意有理数a 和 b,规定 ab=ab2+a.如:13=132+1=10.则(-2)3 的值为A10 B-15C.-16 D-20答案:D二、填空题3、(2018 北京西城区七年级第一学期期末附加题)1 用“”定义新运算:对于任意有理数 a,b,当 ab 时,都有ab a2b;当 ab 时,都有ab ab2那么,26=,()(3)=答案:24,-64(2018 北京海淀区第二学期练习)定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦阿基米德折弦定理:如图1,AB和
2、BC组成圆的折弦,AB BC,M是弧ABC的中点,MF23 AB于F,则AF FB BC如图 2,ABC中,ABC 60,AB 8,BC 6,MFADCBCEBD是AB上一点,BD1,作DE AB交ABC的外接圆于E,连接EA,则EAC=_答案答案 60605、(2018 北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内,A图1图2两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p、q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有_个三、解答题6、(2018 北京平谷区初一第一学期期末)阅读材料:规定一种新的运算:a b例如
3、:=ad bcc d123 4 1 4-23=-2.5264的值(1)按照这个规定,请你计算2x421 5时求x的值2(2)按照这个规定,当x2答案(1)5264 =20-12=8 2(2)由2x4x221 52得1(2x4)2(x2)542解得,x=157、(2018 北京海淀区七年级第一学期期末)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定:(a,b)(c,d)=bcad.例如:(1,2)(3,4)=2314=2根据上述规定解决下列问题:(1)有理数对(2,3)(3,2)=;(2)若有理数对(3,2x1)(1,x+1)=7,则 x=;(3)当满足等
4、式(3,2x1)(k,xk)=52k 的 x 是整数时,求整数 k 的值答案.解:(1)5.分(2)1.分(3)等式(3,2x1)(k,xk)=52k 的 x 是整数(2x1)k(3)(xk)=52k(2k3)x=5x 52k 3k 是整数2k+3=1 或5k=1,1,2,4.分8、(2018 北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数 a,b,定义运算:ab=a(a b)1,等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如,25=2(2+5)1=13;(3)(5)3(35)1 23(1)求(2)3的值;(2)对于任意有理数 m,n,请你重新定义一种运算“”,使得 5320,写出你定义的运算:mn
5、(用含 m,n 的式子表示)1211 2(23)122 4.(2)答案不唯一,例如:m n m(n1).答案解:(1)(2)39(2018 北京石景山区初三毕业考试)对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A 或 B 为圆心,AB 长为半径的圆称为点 A,B 的“确定圆”如图为点 A,B的“确定圆”的示意图(1)已知点 A 的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,3),则点 A,B 的“确定圆”的面积为_;(2)已知点 A 的坐标为(0,0),若直线y xb上只存在一个点 B,使得的“确定圆”的面积为9,求点 B 的坐标;(3)已知点 A 在以P(m,0)为圆心,以 1 为半径的圆上,点B 在直
6、线y A AB B点 A,B3x 3上,3若要使所有点 A,B 的“确定圆”的面积都不小于9,直接写出m的取值范围解:(1)25;2 分(2)直线y xb上只存在一个点B,使得点A,B的“确定圆”的面积为9,A的半径AB3且直线y xb与A相切于点B,如图,ABCD,DCA 45当b 0时,过 点B作在C CE EA ABBB BD D3 3l lx xy yl l则点B在第二象限BE x轴于点E,RtBEA中,BAE 45,AB3,3 22BE AE(B3 2 3 2,)22当b0时,则点B在第四象限同理可得B(3 22,3 22)3 2 3 23 23 2,)(,)或2222 6 分(综上
7、所述,点B的坐标为(3)m5或m11y1)与B(x2,y2),10(2018 北京延庆区初三统一练习)平面直角坐标系 xOy 中,点A(x1,如果满足x1 x20,y1 y20,其中x1 x2,则称点 A 与点 B 互为反等点已知:点 C(3,4)y(1)下列各点中,与点C 互为反等点;D(3,4),E(3,4),F(3,4)(2)已知点 G(5,4),连接线段 CG,若在存在两点 P,Q 互为反等点,求点 P 的横取值范围;(3)已知O 的半径为 r,若O 与(2)中线个交点互为反等点,求 r 的取值范围解:(1)F1 分(2)-3xp3 且xp04 分(3)43或x 3.8分16.(201
8、8 北京平谷区中考统一练习)在点 M 的坐标为x1,y1,点 N 的坐标为Hy4 43 3E2 21 1D 4 4 3 3 2 2 1 1 O 1 1 2 2 3 3 4 41 12 2y=x+by=x+b2 23 34 4xy=x+by=x+b1 1平面直角坐标系 xOy 中,x2,y2,且x1 x2,的两条对角线分别平行菱形”.AB 为边的“坐标菱形”以CD为边的“坐标菱形”y1 y2,以 MN 为边构造菱形,若该菱形于 x 轴,y 轴,则称该菱形为边的“坐标(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以的最小内角为_;(2)若点 C(1,2),点 D 在直线 y=5 上,为正方形,求直线
9、 CD 表达式;(3)O 的半径为2,点P 的坐标为(3,m).若在O 上存在一点 Q,使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形,求 m 的取值范围解:(1)60;1(2)以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形,直线 CD 与直线 y=5 的夹角是 45过点 C 作 CEDE 于 ED(4,5)或2,5 3直线 CD 的表达式为y x1或y x3 5(3)1 m5或5 m 1 717(2018 北京顺义区初三练习)如图 1,对于平面内的点 P 和两条曲线L1、L2如下定义:若从点P 任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2,总有是定值,我们称曲线L1与L2“曲似”,定值给 出Q2Q1PL1图
10、1OMNPQ1PQ2L2心”同 心为 总心”为 OPQ1为“曲似比”,点 P 为“曲PQ2例如:如图 2,以点 O为圆心,半径分别为r1、r2(都是常数)的两个圆C1、C2,从点 O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N,因rOMr1是定值,所以同心圆C1与C2曲似,曲似比为1,有“曲ONr2r2C2C1图2(1)在平面直角坐标系 xOy 中,直线y kx与抛物线y x2、y 12x分别交于点 A、B,如图3 所2示,试判断两抛物线是否曲似,并说明理由;(2)在(1)的条件下,以 O 为圆心,OA 为半径作圆,B 作 x 轴的垂线,垂足为 C,是否存在 k 值,O 与直线 BC 相切?若存在,
11、求出 k 的值;若在,说明理由;(3)在(1)、(2)的条件下,若将“y“y 过 点使 不 存12x”改为212,其他条件不变,当存在O 与直线 BC 相切时,直接写出 m 的取值范围及 k 与 mx”m之间的关系式解:(1)是过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为D,C依题意可得 A(k,k2),B(2k,2k2)2 分因此 D(k,0),C(2k,0)ADx 轴,BCx 轴,8ADBCOAODk1OBOC2k21 3 分26B两抛物线曲似,曲似比是4A2(2)假设存在 k 值,使O 与直线 BC 相切则 OA=OC=2k,又OD=k,AD=k2,并且 OD2+AD2=OA2,k2+(k
12、 2)2=(2k)2k 3(舍负)由对称性可取k 3综上,k 3 6 分(3)m 的取值范围是 m1,k 与 m 之间的关系式为 k 2=m2-1 8 分18、(2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测)对于平面直角坐标系xOy 中的点 P,给出如下定义:记点P 到 x 轴的距离为d1,到y 轴的距离为d2,若d1 d2,则称d1为点 P 的最大距离;若d1 d2,则称d2为点 P 的最大距离.例如:点 P(3,4)到到 x 轴的距离为 4,到 y 轴的距离为 3,因为 34,所以点 P 的最大距离为4.(1)点 A(2,5)的最大距离为;若点 B(a,2)的最大距离为5,则a的值为;(2)
13、若点 C 在直线y x2上,且点 C 的最大距离为5,求点 C 的坐标;(3)若O 上存写出O 的半径解:(1)在点 M,使点 M 的最大距离为5,直接r 的取值范围.y y5 54 43 32 21 155 44 33 22 11O O112233445551 分1 12 23 34 45 5x x53 分(2)点 C的最大距离为 5,当x 5时,y 5,或者当y 5时,x5.4 分分别把x5,y 5代入得:当x5时,y 7,当x5时,y 3,当y 5时,x7,当y 5时,x3,点C(5,3)或(3,5).5 分(3)5 r 5 2.7 分19、(2018 北京朝阳区第一学期期末检测)在平面
14、直角坐标系xOy 中,点A(0,6),点 B 在 x 轴的正半轴上.若点 P,Q 在线段 AB 上,且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点 P,Q 的“X矩形”.下图为点 P,Q 的“X 矩形”的示意图.(1)若点 B(4,0),点 C 的横坐标为 2,则点 B,C 的“X 矩形”的面积为.(2)点 M,N 的“X 矩形”是正方形,当此正方形面积为 4,且点 M 到 y 轴的距离为 3 时,写出点 B 的坐标,点 N 的坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式;当此正方形的对角线长度为3,且半径为 r 的O 与它没有交点,直接写出r 的取值范围.y yy y7 77
15、7A A6 66 65 55 5P P4 44 43 33 3备用图2 22 2Q Q1 11 1答案:(1)6;1 分O O1 12 23 3B B4 45 5 x x(2)B(6,0)分x x-1-1-1-1O O1 12 23 34 45 526 6-1-1-1-1N(1,5)或 N(5,1)4 分y 5;5 分x9 23或r.8 分220 r 3 2 20、(2018北京东城第一学期期末)对于平面直角坐标系xOy 中的点 M 和图形 G,若在图形 G 上存在一点N,使 M,N 两点间的距离等 于 1,则称 M 为图形 G 的和睦点(1)当O 的半径为 3 时,在点 P1(1,0),P2
16、(3,1),P3(7,0),P4(5,0)中,O 的和睦点是_;2(2)若点 P(4,3)为O 的和睦点,求O 的半径 r 的取值范围;(3)点 A 在直线 y=1 上,将点 A 向上平移 4 个单位长度得到点B,以 AB 为边构造正方形 ABCD,且 C,D 两点都在 AB 右侧已知点E(2,2),若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点,直接写出点 A 的横坐标xA的取值范围答案:解:(1)P2,P3;2 分(2)由勾股定理可知,OP=5,以点 O 为圆心,分别作半径为 4 和 6 的圆,分别交射线 OP 于点 Q,R,可知 PQ=PR=1,此时 P 是O 的和睦点;若O 半径
17、r 满足 0r1,此时,P 不是O 的和睦点;若O 半径 r 满 r6 时,r-OP1,此时,P 也不是O 的和睦点;若O 半径 r 满足 4r6 时,设O 与射线 OP 交于点 T 即 PT1 时,可在O 上找一点 S,使PS=1,此时P 是O 的和睦点;综上所述,4r64 分(3)52xA3,或2 1xA1 8 分21、(2018 北京丰台区第一学期期末)28对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和C,给出如下定义:如果C 的半径为 r,C 外一点 P 到C 的切线长小于或等于 2r,那么点 P 叫做C 的“离心点”.(1)当O 的半径为 1 时,31,),P2(0,2),P3(5,0)中
18、,O 的“离心点”是;22点 P(m,n)在直线y x 3上,且点 P 是O 的“离心点”,求点 P 横坐标 m 的取值范围;在点 P1(2)C 的圆心 C 在 y 轴上,半径为2,直线y 1x 1与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B.如果线段 AB 上的2所有点都是C 的“离心点”,请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解:(1)P2,P3;2 分2设P(m,m3),则m m 3 5.3 分2解得m11,m2 2.4 分故 1m2.6 分(2)圆心 C 纵坐标yC的取值范围为:12 5yC1 5或3yC4.8 分22、(2018 年北京海淀区第一学期期末)对于C 与C 上的一点 A,若平面内的
19、点 P 满足:射线AP 与C 交于点 Q(点 Q 可以与点 P 重合),且1PA 2,则点 P 称为点 A 关于C 的“生长点”QA已知点 O 为坐标原点,O 的半径为 1,点 A(-1,0)(1)若点 P 是点 A 关于O 的“生长点”,且点 P 在 x 轴上,请写出一个符合条件的点P 的坐标_;(2)若点 B 是点 A 关于O 的“生长点”,且满足tanBAO12,求点 B 的纵坐标 t 的取值范围;(3)直线y 3xb与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 N,若线段 MN 上存在点 A 关于O 的“生长点”,直接写出 b 的取值范围是_y5432y5432321O123456A1123
20、45x321O123456A112345x解:(1)(2,0)(答案不唯一).1 分(2)如图,在 x 轴上方作射线 AM,与O 交于 M,且使得tanOAM 1,并在 AM 上取点 N,使2AM=MN,并由对称性,将 MN 关于 x 轴对称,得MN,则由题意,线段 MN 和MN上的点是满足条件的点 B.yNMAOx作 MHx 轴于 H,连接 MC,MHA=90,即OAM+AMH=90.AC 是O 的直径,AMC=90,即AMH+HMC=90.OAM=HMC.1tanHMC tanOAM.2MHHC1.HAMH2设MH y,则AH 2y,CH HCMN1y,2544AC AH CH y 2,解
21、得y,即点 M 的纵坐标为.5528又由AN 2AM,A 为(-1,0),可得点 N 的纵坐标为,548故在线段 MN 上,点 B 的纵坐标 t 满足:t.3 分5584由对称性,在线段MN上,点 B 的纵坐标 t 满足:t .4 分558448点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 t 或t.5555(3)43 b 1或1 b 43.7 分23、(2018 北京怀柔区第一学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,点P 的横坐标为 x,纵坐标为2x,满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点 A(1,2)、B(2,1)、M(11,1)、N(1,)中,是“关系点”的;22(2)O 的半径为 1,若在O
22、上存在“关系点”P,求点 P 坐标;(3)点 C 的坐标为(3,0),若在C 上有且只有一个“关系点”P,且“关系点”P 的横坐标满足-2x2.请直接写出C 的半径 r 的取值范围解:(1)A、M.2 分(2)过点 P 作 PGx 轴于点 G3 分设 P(x,2x)OG2+PG2=OP24 分x2+4x2=15x2=1y y1x=521O OP P5x=5P(x x1G G1155,2 55)或P(55,2 5)5 分56 5或17 r5417 分(3)r=y7 76 65 54 43 32 21 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111x沟
23、区第一学期期末调研试卷)以点P的一条射线PN,以它为对称轴向左右对PN1,PN2,N1PN2为点P的我们规定:“摇 4 4 3 3 2 2 1 1O 1 124、(2018 北京门头 2 2为端点竖直向下 3 3 4 4称摆动形成了射线 5 5摆角”,射线PN摇摆 6 6PN2).扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”(含PN1,在平面直角坐标系 xOy 中,点P(2,3).(1)当点P的摇摆角为60时,请判断O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(23,0)属于点P的摇摆区域内的点是_(填写字母即可);5,0)(2)如果过点D(1,0),点E(的线段完全在点P的摇摆区域内,那么点P的摇摆角至
24、少为_;(3)W的圆心坐标为(a,0),半径为1,如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内,求a的取值范围y y备用图解:(1)点 B,点 C;2 分O O3 分(2)90 x x(3)当W运动到摇摆角的内部,与PF 左边的射线相切时如图 28-1点P(2,3)的摇摆角为 60KPF 30,PF 3在 RtPFK 中,tanKPF tan30 可求得KF 3KPF 30,PKF 60KF在PFy yP PQW,在 RtPFK 中,sin QKF sin 60 Q QKWO O K KWWF Fx x可求得KW 233OW OF KF KW 2 3 23 2 1333当W运动到摇摆角
25、的内部,与PF 右边的射线相切时如图 28-2同理可求得OW=2+1332 13a2+1333y yP PQQx xF F WWKKO O25、(2018 北京密云区初三(上)期末)已知在平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形 G,给出如下的定义:若在图形 G 上存在一点Q,使得P、Q之间的距离等于 1,则称 P 为图形 G 的关联点.(1)当O的半径为 1 时,12点P3(0,3)中,1(,0),P2(1,3),PO的关联点有_.O的关联点,求点 P 的横坐标x的取直线经过(0,1)点,且与y轴垂直,点 P 在直线上.若 P 是值范围.(2)已知正方形ABCD 的边长为 4,中心为原点,正方
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