2015年高考文科数学湖北卷-答案.pdf

1/11 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】6074 151 33iiii，故选 A.【提示】直接利用虚数单位i的运算性质得出答案.【考点】虚数单位i的运算性质.2.【答案】B【解析】这批米内夹谷约为281534169254石，故选 B.【提示】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论.【考点】利用数学知识解决实际问题.3.【答案】C【解析】特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“0,ln1xxx，”，故选 C.【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【考点】含有量词的命题的否定.4.【答案】A【解析】显然x与y负相关，又y与z正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x与z负相关.故选 A.【提示】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设0ykzk，得到x与z的相关性.【考点】线性回归方程.5.【答案】A【解析】由12ll，是异面直线，可得12ll，不相交，所以pq；由12ll，不相交，可得12ll，是异面直线或12ll，所以qp.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件，故选 A.【提示】根据充分条件和必要条件的定义结合空间直线的位置关系，进行判断即可.【考点】充分条件和必要条件的判断，空间直线的位置关系.6.【答案】C 2/11 【解析】依题意，有40 x，解得44x；且25603xxx，解得2x 且3x；由求交集得，函数的定义域为 2,33,4U，故选 C.【提示】根据函数成立的条件进行求解即可.【考点】函数的定义域.7.【答案】D【解析】当0 x 时，sgnxxxx；当0 x 时，sgn0 xxx；当0 x 时，sgnxxxx；综上，sgnxxx，故选 D.【提示】去掉绝对值符号，逐个比较即可.【考点】函数表达式的比较.8.【答案】B【解析】在直角坐标系中，依次作出不等式0101xy，1122xyxy，的可行域如下图所示：依题意，1ABOOCDESpS四边形，2OEGFCOCDESpS曲边多边形四边形，而12OECOCDESS四边形，所以1212pp，故选 B.【提示】分别求出事件“12xy”和事件“12xy”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小.【考点】几何概型.9.【答案】D 3/11 【解析】2121bea，2221bmeam，不妨令12ee，化简得0bbmmaam，得b m a m，得ba.所以当ba时，有bbmaam，即12ee；当ba时，有bbmaam，即12ee，故选（D）.【提示】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【考点】双曲线的性质.10.【答案】C【解析】如图，集合A表示如下图所示的所有红心圆点，集合B表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合AB显然是集合,|3,3,x yxyx yZ中除去四个点 3333333,3，之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合AB表示如下图所示的所有红心圆点所有绿心圆点所有黄心圆点，共 45 个，故AB中元素的个数为 45 故选 C.【提示】由题意可得：0 001011,01,0A，0,00,10,201021,11,21112,B，1，0，2,02,12,22122-1-21,11,01112，22212,02,1，根据定义可求 4/11 【考点】集合的基本定义及运算.第卷 二、填空题 11.【答案】9【解析】由OAAB，得0OA AB.所以2OA OBOA OAABOAOA AB22039OA.【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法.12.【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3()，()，()，平行移动直线3yx，求可知当直线过点(3,1)时3xy取最大值 10.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.【考点】简单线性规划.13.【答案】2【解析】2222sin sin2sin cossin22f xxxxxxxxx，令 0f x，则2sin2 xx，则函数 f x的零点个数即为函数sin2yx与函数2yx图像的交点个数，作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数 f x的零点个数为2.5/11 【提示】将函数进行化简，由()0f x，转化为两个函数的交点个数进行求解即可.【考点】函数和方程之间的关系.14.【答案】（）3（）6000【解析】（）由频率分布直方图知，1.52.52.00.80.20.1 1a，解得3a.（）消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为1000032.00.80.20.16000.【提示】（）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出a的值.（）先求出消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数.【考点】频率分布直方图 15.【答案】100 6【解析】依题意，在ABC中，600AB，30BAC，753045ACB，由正弦定理得sinsinBCABBACACB，即600sin30sin45BC，所以300 2BC.在BCD中，30CBD，tan300 2 tan30100 6CDBCCBDg.【提示】设此山高h m（），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得 6/11 h.【考点】正弦、余弦定理.16.【答案】（）22(1)(2)2xy（）【解析】（）由题意设圆心1,Cr（r为圆C的半径），则222122ABr，解得2r，所以圆C的方程为22122xy.（）令0 x，得21y，所以点0,21B，又点1,2C，所以直线BC的斜率为1BCk，所以圆C在点B处的切线方程为210yx，即21yx，令0y，得切线在x轴上的截距为21.【提示】（）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程.（）求出圆C在点B处切线方程，令0y 可得圆C在点C处切线在x轴上的截距.【考点】圆的标准方程，圆的切线方程.17.【答案】2 22a 【解析】当0a 时，2f xxax在0,1上是增函数，所以 11g afa，此时 min1g a；当02a时，作出函数 2f xxax的大致图像如下：由图易知，2f xxax在0,2a上是增函数，在,2aa上是减函数，在,1a上是增函数，此时，只需比 7/11 较2af与 1f的大小即可.由 12aff，得2122aaaag，得214aa，解得222a 或2a（舍去）,且当0222a时，12aff；当2 222a时，12aff（i）当02 22a时，12aff，所以 11g afa，此时 32 21g a；（ii）当2 22a 时，12aff，所以 132 22ag aff；（iii）当2 222a时，12aff，所以 224aag af，此时 32 24g a；当2a 时，2f xxax在0,1上是增函数，所以 11g afa，此时 min1g a.综上，当2 22a 时，min32 2g a.【提示】通过分0a，02 22a，2 22a 三种情况去函数f x（）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论.【考点】函数的最值.三、解答题 18.【答案】（）见解析.（）离原点 O 最近的对称中心为,012.【解析】（）根据表中已知数据，解得5,2,6A，数据补全如下表：x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 sin()Ax 0 5 0 5 0 且函数表达式为()5sin 26f xx.8/11 （）由（）知()5sin 26f xx，因此()5sin25sin 2666g xxx.因为曲线sinyx的对称中心为(,0)k，kZ，令26xk，解得212kx，kZ，即()yg x图像的对称中心为0212k，kZ，其中离原点 O 最近的对称中心为,012.【提示】（）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（）由函数sin()yAx的图像变换可得()g x，解得其对称中心即可得解.【考点】函数sin()yAx的图像变换.19.【答案】（）1212nnnanb或11(279)929()9nnnanb（）12362nnnT【解析】（）由题意有，1110451002ada d，即1129202ada d 解得112ad，或1929ad，故1212nnnanb，或11(279)9299nnnanb（）由1d，知21nan，12nnb，故1212nnnc，于是 2341357921122222nnnT，2345113579212222222nnnT，可得 221111212323222222nnnnnnT，故12362nnnT.【提示】（）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可.（）当1d 时，由（）知1212nnnc，写出nT，12nT的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可.9/11 【考点】数列的通项及求和，错位相减法.20.【答案】（）见解析（）124VV【解析】（）因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC 平面PCD，DE平面PCD，所以BCDE，又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC，而PCBCC，故DE 平面PBC.由BC 平面PCD，DE 平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCDBCEDECDEB，.（）由已知得PD是阳马PABCD的高，所以11133ABCDVSPDBC CD PD；由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以21136BCEVSDEBC CE DE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以22DECECD，于是121234.16BC CD PDVCD PDVCE DEBC CE DE【提示】（）证明BC 平面PCDDE，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论.（）由已知，是棱锥P ABCD的高，所以11133ABCDVSPDBC CD PD，由（）知，DE是鳖臑D BCE的高，BCCE，所以21136BCEVSDEBC CE DE，即可求12VV的值.【考点】线面垂直的判定与性质，体积的计算 21.【答案】（）1()(ee)2xxf x，1()(ee)2xxg x，证明见解析.（）证明见解析.【解析】（）由()f x，()g x的奇偶性及()()exf xg x，得()()exf xg x，联立解得1()(ee)2xxf x，1()(ee)2xxg x.当0 x 时，e1x，0e1x，故()0f x 10/11 又由基本不等式，有1()(ee)e e12xxxxg x，即()1g x （）由（）得2111e1()(e)(e)(ee)()2e2e2xxxxxxxfxg x，2111e1()(e)(e)(ee)()2e2e2xxxxxxxg xf x，当0 x 时，()()(1)f xag xax等价于()()(1)f xaxg xa x，()()(1)f xbg xbx等价于()()(1)f xbxg xb x，设函数()()()(1)h xf xcxg xc x，由，有()()()()(1)h xg xcg xcxf xc(1)()1().c g xcxf x 当0 x 时，（）若0c，由，得()0h x，故()h x在0,)上为增函数，从而()(0)0h xh，即()()(1)f xcxg xc x，故成立.（）若1c，由，得()0h x，故()h x在0,)上为减函数，从而()(0)0h xh，即()()(1)f xcxg xc x，故成立.综合，得()()(1)()(1)f xag xabg xbx.【提示】（）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得()()f xg x，的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得()0()1f xg x，.（）当0 x 时，()()()1()(1)()1()(1)f xf xag xaaxg xa xbg xbbxg xb xxx ，设函数()()()(1)h xf xcxg xc x，通过导数判断单调性，即可得证.【考点】函数的奇偶性的运用，不等式的证明以及导数的运用 22.【答案】（）椭圆 C 的方程为221164xy（）见解析【解析】（）因为|3 14OMMNNO ，当M N，在 x 轴上时，等号成立；同理|3 12OMMNNO ，当,D O重合，即MNx轴时，等号成立，所以椭圆 C 的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164xy（）1）当直线l的斜率不存在时，直线l为4x 或4x ，都有14 482OPQS，2）当直线l的斜率存在时，设直线1:()2l ykxmk，11/11 由22,416,ykxmxy，消去y，可得222(14)84160kxkmxm.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k mkm，即22164mk 又由,20,ykxmxy，可得21212mmPkk，；同理可得21212mmQkk，.由原点O到直线PQ的距离为2|1mdk和2|1|PQPQkxx，可得 22111222|222121214OPQPQmmmSPQ dm xxmkkk 将代入得，222241281441OPQkmSkk，当214k 时，2224128()8(1)84141OPQkSkk；当2104k时，2224128()8(1)1414OPQkSkk.因2104k，则20 1 41k，22214k，所以228(1)814OPQSk，当且仅当0k 时取等号.所以当0k 时，OPQS的最小值为 8.综合 1）2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值 8.【提示】（）根据条件求出ab，即可求椭圆C的方程.（）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】椭圆方程的求解，直线和圆锥曲线的位置关系.