【福建省莆田】2017学年高考一模数学年(理科)试题.pdf

1/19 福建省莆田市福建省莆田市 2017 年高考一模数学（理科）试卷年高考一模数学（理科）试卷 答答 案案 一、选择题 15CAABB 610BBDBA 1112DA 二、填空题 1320 142 15(1,2 164 37 三、解答题 17（1）解：由2nSnkn，有121(2)nnnaSSnkn，又111aSk，21nank 1a，4a，13a成等比数列，24113aa a，即2(2 41)(2 11)(2 131)kkk ，解得2k 21nan；（2）证明：1441(1)(3)(22)(26)(1)(3)nnnbaannnn 111()213nbnn 12nnTbbb，1111111111111()()()224354()()()112361nnnnnn 1 1111()2 2323nn 51115()1222312nn 2/19 18解：（1）由以上统计数据填写2 2列联表，如下；甲厂 乙厂 合计 优质品 400 360 760 非优质品 100 140 240 合计 500 500 1 000 计算221000(400 140360 100)8.7726.635760 240 500 500K，对照临界值表得出，有 99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；（2）计算甲厂优秀率为4000.8500，乙厂优秀率为3600.72500，所以甲厂的优秀品率高，计算甲厂数据的平均值为：1(30 1040 4050 11560 16570 12080 4590 5)60500 x，（3）根据（2）知，60，2142，且甲厂产品的质量指标值X服从正态分布X(60,142)N，又14211.92，则(60 11.9260 11.92)(48.0871.92)0.6826PXPX，1(48.0871.92)1 0.6826(71.92)0.15870.1822PXP X，故不能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%19证明：（1）连结11BC、1BC，设11BCBCM，11BBCC，四边形11BBCC为平行四边形，M为1BC的中点，在1ABC中，O为AB的中点，1MOAC，又1AC 平面1BCD，MO平面1BCD，11ACCOB平面 解：（2）如图，AB是圆O的直径，ACBC，3/19 1CCABC平面，11,CCAC CCBC，又60BAC，2AB，1AC，3BC，13AA，以点C为坐标原点，分别以CA，CB，1OC为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C，(1,0,0)A，(0,3,0)B，10,(0,3)C，13(,0)22O，10,(3,3)B，在圆O上，C，D关于直线AB对称，AOC为正三角形，且1OA，33CDOA，30ACD，过点D作DPx轴，DQy轴，垂足分别为P，Q，则33cos332CPCDACD，13sin322CQCDACD，33(,0)22D，33(,0)22CD，设平面1CDB的一个法向量(,)nx y z，则330330n CDxyn CByz，取3y ，得(1,3,1)n，平面1B BC的一个法向量(1,0,0)n，设二面角1DBCB的二面角为，则15cos5|5|mm nn 故二面角1DBCB的余弦值为55 4/19 20解：（1）由题意可知：2211221xyab，2222221xyab，两式相减得：121212122()()()0)(xxxxyyyya，由12xx，则121211222()()()()xxxxyyyay，由A，B在直线21yx，则12122yykxx，A，B中点横坐标为13，则中点的纵坐标为13，2213223a，解得：212a，又0a，则22a，（2）直线AB的方程为ykxm，则2221ykxmxya，222222(12)1)(0a kxkma xa m，0，即2 22222(241)(1)()0kmaa ma k，则2221ma k，由韦达定理可知：则2122221kmaxxa k，221222(1)1amx xa k，由mn，则0m n，212120 x xa y y，从而222221 212(10)()a kx xkmaxxa m，代入并整理得22221ma k，5/19 由原点O到直线AB的距离2|1mdk，则OAB的面积212211|1|221mSdABkxxk，212121|()42mxxx x，222222222(1)1(1|421)kmaama ka km，222222|(1)1mama ka k，22|2ma mm，2a，从而可得OAB的面积2a，为定值 21解：（1）设切点(,()Q t f t，由直线32()231f xxx，求导，2()66fxxx，则()f x在Q点的切线的斜率266ktt，则切线方程为2()(66)()yf ttt xt，由切线过点(,4)P a，则24()(66)()f ttt at，整理得：32436)650(ta tat，又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解，令32()436)65H tta tat，求导2()126(6 12)6H tta ta，令()0H t，解得：12t，2t，当12a 时，()0H t，函数()H t在R上单调递增，没有两个零点，不符合题意，当12a 时，且1(,)(,)2ta 时，()0H t，当1(,)2ta时，()0H t，()H t在1(,)2，(,)a 单调递增，在1(,)2a单调递减；6/19 要使()H t在R上有两个零点，则1()02()HH aa，或1()02()0HH a，由113337()35()224222Haaa，322()436)65H aaa aa 2(1)(255)aaa 2515(1)2()84aa，70210aa 或70210aa，则72a，当12a 时，同理可知：10702aa 或10702aa，则1a，综上可知：1a 或72a；（2）322()231(1)21)(f xxxxx，()f x在(0,)上只有一个零点1x，1()g xkx，当0k 时，()0g x，则()g x在(0,)上单调递减，()g x在(0,)上至多只有一个零点，故0k 不符合题意；当0k，1()0g xkx，解得：1xk，当1(0,)xk时，()0g x，当1(,)xk时，()0g x，()g x在1(0,)k上单调递减，在1(,)k上单调递增；()g x有最小值1()2lngkk，当21ek 时，1()0gk，()g x只有一个零点，不满题意；7/19 当21ek 时，1()0gk，()g x在(0,)上无零点，不满足题意；当21ek 时，1()0gk，由1()(1)(2ln)(1)0ggk kk，()g x在1(1,)k上有一个零点，设为1x，若11()(e)0kggk，()g x在1(,)k上有一个零点，设为2x，易证121 1e()ekk k，下面证明：1(e)0kg，令2()exF xx，(2)x，求导()e2xF xx，2()e2e20 xFx，()(2,)F x在上单调递增；2()(2)e40F xF，22e0 x，即22ex，(2)x，现在去1ekx，由20ek，2e2x，则111(e)e1 lnekkkgk，11e1kkk，由21e2k，则121ekk，1211(e)110kgkkk ，12()()0g xg x，由(1)10gk，1()0f x，2()0f x，故(1)(1)0hf，11()()0h xg x，22()()0h xg x，故()h x有三个零点，综上可知：满足题意的k的取值范围为21(0,e）选修 44 坐标系与参数方程 8/19 22解：（1）圆C的方程为22(1)(1)2xy，圆C的参数方程为12cos12sinxy （为参数），直线l的极坐标方程为sin()2 24，22(sincos)2 222，即sincos40，直线l的普通方程是40 xy；（2）由题意设(12cos,12sin)P，点P到直线l距离22|12cos12sin4|11d|2sin()2|42 2|sin()1|4，1sin()14，02|sin()1|2 24，即02 2d，点P到直线l距离的取值范围是0,2 2 选修 45 不等式选讲 23解：（1）62,2()4|22,242|6|,4x xf xxxxxx 当2x 时，()2f x，622x，解得2x；当24x时，()2f x 得22，无解；当4x 时，()2f x 得262x，解得4x 所以不等式()2f x 的解集为(,2)(4,)（2）4|22|xx，2M，2xaM的解集包含0,1，022a，122a，9/19 1a 故a的取值范围为：1,)10/19 福建省莆田市福建省莆田市 2017 年高考一模数学（理科）试卷年高考一模数学（理科）试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x1）（x5）0，解得：1x5，即 A=1，5，由 B 中 y=log2（x2），得到 x20，解得：x2，即 B=（2，+），则 AB=（2，5，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出【解答】解：（1i）z=3+i，（1+i）（1i）z=（3+i）（1+i），化为：2z=2+4i，即 z=1+2i 故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可【解答】解：l1l2”得到：a21=0，解得：a=1 或 a=1，所以应是充分不必要条件 故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题 4【考点】函数奇偶性的性质【分析】依题意首先把 x0 时，函数的解析式求出再把 x=2 代入函数式得出答案【解答】解：设 x0，因为函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x）=f（x）=2（x）当 x0 时，函数的解析式为 f（x）=2x f（2）=2（2）=4 故选 B 11/19 【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题此类问题通常先求出函数的解析式 5【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S，a 的值，当 a=40 时，不满足条件 a32，退出循环，输出 S 的值为 81，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=1，S=0，n=1 满足条件 a32，执行循环体，S=1，n=2，a=8 满足条件 a32，执行循环体，S=9，n=3，a=16 满足条件 a32，执行循环体，S=25，n=4，a=24 满足条件 a32，执行循环体，S=49，n=5，a=32 满足条件 a32，执行循环体，S=81，n=6，a=40 不满足条件 a32，退出循环，输出 S 的值为 81 故选：B【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题 6【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数 n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数 m=1+=8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币 4 次，正面不连续出现的概率【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币 4 次，基本事件总数 n=24=16，正面不连续出现包含的基本事件个数 m=1+=8，抛掷一枚均匀的硬币 4 次，正面不连续出现的概率：p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 7【考点】由三视图求面积、体积【分析】如图所示，该几何体为：多面体 DEABCCE底面 ABC，DA底面 ABCADEC 为矩形ABC为等腰直角三角形，BC=2，ACAB连接 AE，该几何体的体积 V=VEABC+VBADE，即可得出【解答】解：如图所示，该几何体为：多面体 DEABCCE底面 ABC，DA底面 ABCADEC 为矩形 12/19 ABC 为等腰直角三角形，BC=2，ACAB 连接 AE，该几何体的体积 V=VEABC+VBADE=+=故选：B 【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8【考点】正弦函数的单调性【分析】由题意可得+=42，求得 的值，再根据对称中心求得 的值，可得函数 f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得 f（x）的单调递增区间【解答】解：函数 f（x）=sin（x+）（0，），A（，0）为 f（x）图象的对称中心，B，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 BC=4，+=42，即 12+=16，求得=再根据+=k，kZ，可得=，f（x）=sin（x）令 2kx2k+，求得 4kx4k+，故 f（x）的单调递增区间为（4k，4k+），kZ，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题 9【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可知：四边形 PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得OPF1=90，在QPF1中，利用勾股定理即可求得 a 和 b 的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率 e【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点 F1，由 P 关于原点的对称点为 Q，13/19 则丨 OP 丨=丨 OQ 丨，四边形 PFQF1为平行四边，则丨 PF1丨=丨 FQ 丨，丨 PF 丨=丨 QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨 PF 丨丨 PF1丨=2a，丨 PF1丨=a，|OP|=b，丨 OF1丨=c，OPF1=90，在QPF1中，丨 PQ 丨=2b，丨 QF1丨=3a，丨 PF1丨=a，则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率 e=，故选 B 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题 10【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图建立平面直角坐标系，设 AD=m，则 AD=，由 BEDC，m即可【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设 AD=m，则 AD=，A（0，），D（m，），C（2m，0），=（）BEDC，m=14/19 ，则的值为+02=2 故选：A 【点评】本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题 11【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积【解答】解：由已知得到几何体如图：三棱柱的表面积为=3+2；故答案为：3+2【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】先根据抛物线方程求出 p 的值，再由抛物线的性质求出 AB 的垂直平分线方程，可得到答案【解答】解：抛物线 y2=4x，p=2，设经过点 F 的直线 y=k（x1）与抛物线相交于 A、B 两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线 y=k（x1）代入 y2=4x，整理可得 k2x2（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=2+利用抛物线定义，AB 中点横坐标为 x1+x2=|AB|p=62=4AB 中点横坐标为 2 2+=4，k=AB 中点纵坐标为 k，AB 的垂直平分线方程为 yk=（x2），令 y=0，可得 x=4，|FM|=3 故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的性质属中档题解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定 AB 的垂直平分线方程是关键 15/19 12【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】构造函数：g（x）=，g（0）=1对任意 xR，都有 f（x）f（x）+1，可得 g（x）=0，函数 g（x）在 R 单调递减，利用其单调性即可得出【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）=1 对任意 xR，都有 f（x）f（x）+1，g（x）=0，函数 g（x）在 R 单调递减，由 f（x）+ex1 化为：g（x）=1=g（0），x0 使得 f（x）+ex1 成立的 x 的取值范围为（0，+）故选：A【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题 13【考点】二项式定理的应用【分析】把（x+y）5 按照二项式定理展开，可得（x2y）（x+y）5的展开式中 x3y3的系数【解答】解：根据根据（x+y）5=（x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5），可得（2x1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为 2=20，故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 14【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，16/19 化目标函数 z=x2y 为，由图可知，当直线过点 A（2，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 2 故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15【考点】余弦定理【分析】由已知整理可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得 cosA=，结合范围 A（0，），可求 A，由三角形内角和定理可求 C=B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（B+），由 B（0，），利用正弦函数的性质可求 sin（B+）（，1，即可得解【解答】解：=，可得：（ab+c）（a+bc）=bc，整理可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，A（0，），A=，可得：C=B，=2sin（B+），B（0，），B+（，），可得：sin（B+）（，1，=2sin（B+）（1，2 故答案为：（1，2【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 16【考点】直线与平面所成的角 17/19 【分析】求出球半径为，根据图形找出直线 C1M 与平面 ABD 所成角，解三角形即可【解答】解：如图所示，设 O 为球心，E、F 分别为ABD、C1BD 的外接圆圆心，则有 OE面 ABD，OF面 C1BD，菱形 ABCD 中，BAD=，AB=3 ABD、C1BD 为等边，故 E、F 分别为ABD、C1BD 的中心 球 O 的表面积为 16，球半径为 2 在直角AOM 中，OA=2，AE=，QE=1 tanOME=，C1MDB，AMDB，DB面 AMC1，C1MA（或其补角）就是直线 C1M 与平面 ABD 所成角 C1MA=2OME，tanC1MA=tan（2OME）=，sinC1MA=，直线 C1M 与平面 ABD 所成角的正弦值为，故答案为：【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键属于中档题 三、解答题 17【考点】数列的求和【分析】（1）由已知数列的前 n 项和求得 an=SnSn1=2n+k1（n2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合 a1，a4，a13成等比数列求得 k，则通项公式可求；18/19 （2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列bn的前 n项和为 Tn，放缩可得【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，属中档题 18【考点】独立性检验【分析】（1）根据统计数据填写 22 列联表，计算 K2，对照临界值表得出结论；（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值 XN（60，142），计算对应的概率值即可【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力 19【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结 B1C1、BC1，设 BC1B1C=M，推导出四边形 BB1C1C 为平行四边形，从而 MOAC1，由此能证明 AC1平面 COB1（2）以点 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，OC1为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DB1CB 的二面角的余弦值【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k=2，根据中点坐标公式，即可求得 a 的值；（2）设直线 y=kx+m 代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得OAB 的面积为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导，利用导数求得 f（x）在 Q 的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得 a 的值；（2）根据函数定义，求 h（x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数 h（x）零点的个数，即可求得 h（x）恰有三个零点时，实数 k 的取值范围【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理能力句函数和方程思想、分类和整合思想，是一道综合题，属于难题 19/19 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由题意求出圆 C 的参数方程和直线 l 的普通方程；（2）由题意设 P（，），由点到直线的距离公式表示出点 P 到直线 l 距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力 23【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义【分析】（1）f（x）=|x4|+|x2|=分 x2 时，；2x4，x4，解 f（x）2（2）由|x4|+|x2|2，得 M=2，由 2x+aM 的解集包含0，1，得 20+a2，21+a2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题