2022高考数学一轮复习课后限时集训14导数的概念及运算理.doc

课后限时集训14
导数的概念及运算
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一、选择题
1．函数y＝ln(2x2＋1)的导数是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
B　[y′＝·4x＝，故选B.]
2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝(　　)
A．1 B．－1
C．－e D．－e－1
D　[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝－.
故选D.]
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1秒末 B．1秒末和2秒末
C．4秒末 D．2秒末和4秒末
D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]
4．(2019·贵阳模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x－e B．y＝－2x－e
C．y＝2x＋e D．y＝－x－1
A　[对y＝xln x求导可得y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]
5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝(　　)
A.　　　 B.
C.　　　 D.
C　[设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由题意可知解得a＝.故选C.]
二、填空题
6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
x－y－2＝0　[根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]
7．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
(－∞，0)　[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]
8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为______．
(1，－1)或(－1,1)　[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或
所以当时，点P的坐标为(1，－1)；
当时，点P的坐标为(－1,1)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
[解]　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．

1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D　[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]
2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
D　[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]
3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________.
0或1　[设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝ex的切点为(x2，y2)，y＝ln x＋2的导数为y′＝，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝ex2＝.又由k＝＝，消去x2，可得(1＋ln x1)(x1－1)＝0，则x1＝或x1＝1，则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为或(1,2)，与曲线y＝ex的切点为(1，e)或(0,1)，所以k＝＝e或k＝＝1，则切线方程为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]
4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

1．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.
定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)＞0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．
　[因为f(x)＝x3－x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，
令f″(x)＞0得x＞，故x的取值范围是.]
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
[解]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意⇒
又f′(0)＝－3，
所以c＝－3，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(x0，x－3x0)，
因为f′(x)＝3x2－3，
所以f′(x0)＝3x－3，
所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又切线过点A(2，m)，
所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
所以m＝－2x＋6x－6，
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，
画出草图知，当－6＜m＜2时，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三个解，所以m的取值范围是(－6,2)．