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2022年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题〔此题共6小题，第小题3分，共18分．每题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的〕
1．〔3分〕计算：|﹣|=〔　　〕
A． B． C．3 D．﹣3
2．〔3分〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．2x+3y=5xy B．〔m+3〕2=m2+9 C．〔xy2〕3=xy6 D．a10÷a5=a5
3．〔3分〕：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，那么∠2的度数为〔　　〕
A．50° B．60° C．65° D．75°
4．〔3分〕：如图，是一几何体的三视图，那么该几何体的名称为〔　　〕
A．长方体 B．正三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
5．〔3分〕某校10名篮球运发动的年龄情况，统计如下表：
年龄〔岁〕
12
13
14
15
人数〔名〕
2
4
3
1
那么这10名篮球运发动年龄的中位数为〔　　〕
A．12 B．13 C．13.5 D．14
6．〔3分〕：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，那么∠ADC的度数为〔　　〕
A．30° B．35° C．45° D．70°
二、填空题〔每题3分，共24分〕
7．〔3分〕16的算术平方根是．
8．〔3分〕分解因式：mn2﹣2mn+m=．
9．〔3分〕计算：﹣6的结果是．
10．〔3分〕自中国提出“一带一路，合作共赢〞的建议以来，一大批中外合作工程稳步推进．其中，由中国承建的蒙内铁路〔连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港〕，是首条海外中国标准铁路，已于2022年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作吨．
11．〔3分〕化简：〔+〕•=．
12．〔3分〕如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，那么∠BED的度数是．
13．〔3分〕：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，那么它的侧面展开图的面积是cm2．
14．〔3分〕：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，那么线段B1D=cm．
三、解答题〔共10小题，总分值78分〕
15．〔5分〕解不等式组．
16．〔6分〕：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
17．〔6分〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2=0①有两个不相等的实数根．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
18．〔6分〕黄麻中学为了创立全省“最美书屋〞，购置了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，学校用12000元购置的科普类图书的本数与用9000元购置的文学类图书的本数相等，求学校购置的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元
19．〔7分〕我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动〞，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生〔每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种〕．
根据以上统计图提供的信息，请解答以下问题：
〔1〕m=，n=．
〔2〕补全上图中的条形统计图．
〔3〕假设全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
〔4〕在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．〔解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表〕
20．〔7分〕：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：〔1〕DE是⊙O的切线；
〔2〕ME2=MD•MN．
21．〔7分〕：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A〔﹣1，m〕和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为〔0，﹣2〕，连接DE．
〔1〕求k的值；
〔2〕求四边形AEDB的面积．
22．〔8分〕在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD〔如下列图〕，标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．〔计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73〕
23．〔12分〕月电科技用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．生产这种电子产品的本钱为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下列图，其中AB为反比例函数图象的一局部，BC为一次函数图象的一局部．设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔注：假设上一年盈利，那么盈利不计入下一年的年利润；假设上一年亏损，那么亏损计作下一年的本钱．〕
〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕之间的函数关系式；
〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
〔3〕假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s〔万元〕取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x〔元〕定在8元以上〔x＞8〕，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s〔万元〕与销售价格x〔元/件〕的函数示意图，求销售价格x〔元/件〕的取值范围．
24．〔14分〕：如下列图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t〔s〕．
〔1〕当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
〔2〕当t=2s时，求tan∠QPA的值；
〔3〕当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t〔s〕的值；
〔4〕连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠局部的面积为S，求S与t的函数关系式．
2022年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔此题共6小题，第小题3分，共18分．每题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的〕
1．〔3分〕〔2022•黄冈〕计算：|﹣|=〔　　〕
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】利用绝对值的性质可得结果．
【解答】解：|﹣|=，
应选A．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解答此题的关键．
2．〔3分〕〔2022•黄冈〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．2x+3y=5xy B．〔m+3〕2=m2+9 C．〔xy2〕3=xy6 D．a10÷a5=a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=m2+6m+9，不符合题意；
C、原式=x3y6，不符合题意；
D、原式=a5，符合题意，
应选D
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
3．〔3分〕〔2022•黄冈〕：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，那么∠2的度数为〔　　〕
A．50° B．60° C．65° D．75°
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3=180°，再根据∠2=∠3，∠1=50°，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
又∵∠2=∠3，∠1=50°，
∴50°+2∠2=180°，
∴∠2=65°，
应选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．〔3分〕〔2022•黄冈〕：如图，是一几何体的三视图，那么该几何体的名称为〔　　〕
A．长方体 B．正三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
【分析】根据2个相同的长方形视图可得到所求的几何体是柱体，锥体，还是球体，进而由第3个视图可得几何体的名称．
【解答】解：主视图和左视图是长方形，那么该几何体为柱体，第三个视图为圆，那么这个柱体为圆柱．
应选D．
【点评】考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：假设三视图里有两个是长方形，那么该几何体是柱体．
5．〔3分〕〔2022•黄冈〕某校10名篮球运发动的年龄情况，统计如下表：
年龄〔岁〕
12
13
14
15
人数〔名〕
2
4
3
1
那么这10名篮球运发动年龄的中位数为〔　　〕
A．12 B．13 C．13.5 D．14
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位数．
【解答】解：10个数，处于中间位置的是13和13，因而中位数是：〔13+13〕÷2=13．
应选B．
【点评】此题属于根底题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求，如果是偶数个那么找中间两个数的平均数．
6．〔3分〕〔2022•黄冈〕：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，那么∠ADC的度数为〔　　〕
A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
应选B．
【点评】此题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
二、填空题〔每题3分，共24分〕
7．〔3分〕〔2022•黄冈〕16的算术平方根是　4　．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
8．〔3分〕〔2022•黄冈〕分解因式：mn2﹣2mn+m=　m〔n﹣1〕2．
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=m〔n2﹣2n+1〕=m〔n﹣1〕2，
故答案为：m〔n﹣1〕2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
9．〔3分〕〔2022•黄冈〕计算：﹣6的结果是．
【分析】先依据二次根式的性质，化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣6
=3﹣6×
=3﹣2
=
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法的运用，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．
10．〔3分〕〔2022•黄冈〕自中国提出“一带一路，合作共赢〞的建议以来，一大批中外合作工程稳步推进．其中，由中国承建的蒙内铁路〔连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港〕，是首条海外中国标准铁路，已于2022年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作　2.5×107吨．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：25000000=2.5×107．
故答案为：2.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．〔3分〕〔2022•黄冈〕化简：〔+〕•=　1　．
【分析】首先计算括号內的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式=〔﹣〕•
=•
=1．
故答案为1．
【点评】此题考查了分式的化简，熟练掌握混合运算法那么是解此题的关键．
12．〔3分〕〔2022•黄冈〕如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，那么∠BED的度数是　45°　．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=〔180°﹣∠BAE〕÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
【点评】此题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．
13．〔3分〕〔2022•黄冈〕：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，那么它的侧面展开图的面积是　65π　cm2．
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm，
∴圆锥的侧面积=π×13×5=65πcm2．
故答案为：65π．
【点评】此题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
14．〔3分〕〔2022•黄冈〕：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，那么线段B1D=　1.5　cm．
【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
【点评】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．
三、解答题〔共10小题，总分值78分〕
15．〔5分〕〔2022•黄冈〕解不等式组．
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥0，
故不等式组的解集为0≤x＜1．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．
16．〔6分〕〔2022•黄冈〕：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，此题得以解决．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM，
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM〔SAS〕，
∴∠B=∠ANM．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件，利用三角形全等的性质解答．
17．〔6分〕〔2022•黄冈〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2=0①有两个不相等的实数根．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【分析】〔1〕由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
〔2〕将k=1代入方程，由韦达定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2可得．
【解答】解：〔1〕∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=〔2k+1〕2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
〔2〕当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=9﹣2=7．
【点评】此题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及韦达定理是解题的关键．
18．〔6分〕〔2022•黄冈〕黄麻中学为了创立全省“最美书屋〞，购置了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，学校用12000元购置的科普类图书的本数与用9000元购置的文学类图书的本数相等，求学校购置的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，那么科普类图书平均每本的价格为〔x+5〕元，根据题意可得等量关系：用12000元购进的科普类图书的本数=用9000元购置的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，那么科普类图书平均每本的价格为〔x+5〕元．
根据题意，得=．
解得x=15．
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
那么科普类图书平均每本的价格为15+5=20元，
答：文学类图书平均每本的价格为15元，科普类图书平均每本的价格为20元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
19．〔7分〕〔2022•黄冈〕我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动〞，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生〔每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种〕．
根据以上统计图提供的信息，请解答以下问题：
〔1〕m=　100　，n=　5　．
〔2〕补全上图中的条形统计图．
〔3〕假设全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
〔4〕在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．〔解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表〕
【分析】〔1〕篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
〔2〕求出足球人数=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，即可解决问题；
〔3〕用样本估计总体的思想即可解决问题．
〔4〕画出树状图即可解决问题．
【解答】解：〔1〕由题意m=30÷30%=100，排球占=5%，
∴n=5，
故答案为100，5．
〔2〕足球=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，
条形图如下列图，
〔3〕假设全校共有2000名学生，该校约有2000×=400名学生喜爱打乒乓球．
〔4〕画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P〔B、C两人进行比赛〕==．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
20．〔7分〕〔2022•黄冈〕：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：〔1〕DE是⊙O的切线；
〔2〕ME2=MD•MN．
【分析】〔1〕求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；
〔2〕连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．
【解答】证明：〔1〕∵ME平分∠DMN，
∴∠OME=∠DME，
∵OM=OE，
∴∠OME=∠OEM，
∴∠DME=∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是⊙O的切线；
〔2〕
连接EN，
∵DM⊥DE，MN为⊙O的半径，
∴∠MDE=∠MEN=90°，
∵∠NME=∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴=，
∴ME2=MD•MN
【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
21．〔7分〕〔2022•黄冈〕：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A〔﹣1，m〕和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为〔0，﹣2〕，连接DE．
〔1〕求k的值；
〔2〕求四边形AEDB的面积．
【分析】〔1〕根据一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A〔﹣1，m〕，即可得到点A的坐标，再根据反比例函数y=的图象经过A〔﹣1，3〕，即可得到k的值；
〔2〕先求得AC=3﹣〔﹣2〕=5，BC=﹣〔﹣1〕=，再根据四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积进行计算即可．
【解答】解：〔1〕如下列图，延长AE，BD交于点C，那么∠ACB=90°，
∵一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A〔﹣1，m〕，
∴m=2+1=3，
∴A〔﹣1，3〕，
∵反比例函数y=的图象经过A〔﹣1，3〕，
∴k=﹣1×3=﹣3；
〔2〕∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为〔0，﹣2〕，
∴令y=﹣2，那么﹣2=﹣2x+1，
∴x=，即B〔，﹣2〕，
∴C〔﹣1，﹣2〕，
∴AC=3﹣〔﹣2〕=5，BC=﹣〔﹣1〕=，
∴四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积
=AC×BC﹣CE×CD
=×5×﹣×2×1
=．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
22．〔8分〕〔2022•黄冈〕在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD〔如下列图〕，标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．〔计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73〕
【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，那么EF=2x，EH=x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+x=10，解方程即可．
【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，那么EF=2x，EH=x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+x=10，
∴x=5﹣5，
∴EF=2x=10﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
【点评】此题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．
23．〔12分〕〔2022•黄冈〕月电科技用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．生产这种电子产品的本钱为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下列图，其中AB为反比例函数图象的一局部，BC为一次函数图象的一局部．设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔注：假设上一年盈利，那么盈利不计入下一年的年利润；假设上一年亏损，那么亏损计作下一年的本钱．〕
〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕之间的函数关系式；
〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
〔3〕假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s〔万元〕取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x〔元〕定在8元以上〔x＞8〕，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s〔万元〕与销售价格x〔元/件〕的函数示意图，求销售价格x〔元/件〕的取值范围．
【分析】〔1〕依据待定系数法，即可求出y〔万件〕与x〔元/件〕之间的函数关系式；
〔2〕分两种情况进行讨论，当x=8时，smax=﹣80；当x=16时，smax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
〔3〕根据第二年的年利润s=〔x﹣4〕〔﹣x+28〕﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x〔元/件〕的取值范围．
【解答】解：〔1〕当4≤x≤8时，设y=，将A〔4，40〕代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B〔8，20〕，C〔28，0〕代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
〔2〕当4≤x≤8时，s=〔x﹣4〕y﹣160=〔x﹣4〕•﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x=8时，smax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，s=〔x﹣4〕y﹣160=〔x﹣4〕〔﹣x+28〕﹣160=﹣〔x﹣16〕2﹣16，
∴当x=16时，smax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
〔3〕∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的本钱，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s=〔x﹣4〕〔﹣x+28〕﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令s=103，那么103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
24．〔14分〕〔2022•黄冈〕：如下列图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t〔s〕．
〔1〕当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
〔2〕当t=2s时，求tan∠QPA的值；
〔3〕当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t〔s〕的值；
〔4〕连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠局部的面积为S，求S与t的函数关系式．
【分析】〔1〕可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
〔2〕当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
〔3〕用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
〔4〕当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．
【解答】解：
〔1〕当t=1s时，那么CP=2，
∵OC=3，四边形OABC是矩形，
∴P〔2，3〕，且A〔4，0〕，
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∴，解得，
∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；
〔2〕当t=2s时，那么CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，
∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，
∴tan∠QPA==；
〔3〕当线段PQ与线段AB相交于点M，那么可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，
那么CP=2t，OQ=t，
∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴=，且BM=2AM，
∴=2，解得t=3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；
〔4〕当0≤t≤2时，如图3，
由题意可知CP=2t，
∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，
由题意可知PC=2t，OQ=t，那么BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，
同〔3〕可得==，
∴BM=•AM，
∴3﹣AM=•AM，解得AM=，
∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×〔4﹣t〕×=24﹣﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，
由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，
∵AB∥OC，
∴=，即=，解得AM=，
∴BM=3﹣=，
∴S=S△BCM=×4×=；
综上可知S=．
【点评】此题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中求得P点坐标是解题的关键，在〔2〕中确定P、B重合是解题的关键，在〔3〕中由相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在〔4〕中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一局部图形的面积是解题的关键．此题为“运动型〞问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化“动〞为“静〞是解这类问题的一般思路．此题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难度较大．
参与本试卷答题和审题的老师有：fangcao；sks；szl；HJJ；HLing；733599；蓝月梦；心假设在；gbl210；守拙；2300680618；sjzx；zgm666；三界无我；弯弯的小河；zjx111；Ldt〔排名不分先后〕
菁优网
2022年8月11日