北京市大兴区九年级上期末数学试卷(有答案).pdf

2017201820172018 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共一、选择题（本题共1616 分，每小题分，每小题2 2 分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1抛物线 y=（x2）2+3 的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（3，2）2如图，点 A，B，P 是O 上的三点，若AOB=40，则APB 的度数为（）A80B140C20D503已知反比例函数 y=Am2，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（）Cm2Dm2Bm24在半径为 12cm 的圆中，长为 4cm的弧所对的圆心角的度数为（）A10B60C90D1205将二次函数 y=5x2的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的解析式为（）Ay=5（x+2）2+3Cy=5（x+2）23By=5（x2）2+3Dy=5（x2）236为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，然后找出 AD 与 BC 的交点 E如图所示，若测得 BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽 AB 等于（）A120mB67.5mC40mD30m7根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在 40mg/L 以下；如果血乳酸浓度降到 50mg/L 以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是（）A运动后 40min 时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为 350mg/LC运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑 80min 后才能基本消除疲劳8如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是 0.47；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5；若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45其中合理的是（）A二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）9如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=2，则 tanB 的值是BCD10计算：2sin60tan 45+4cos30=113，若ABCDEF，且对应边 BC 与 EF 的比为 2：则ABC 与DEF 的面积比等于12请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：13如图，在半径为 5cm 的O 中，如果弦 AB 的长为 8cm，OCAB，垂足为 C，那么 OC 的长为cm14圆心角为 160的扇形的半径为 9cm，则这个扇形的面积是cm215若函数 y=ax2+3x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则 a 的取值范围是16下面是“作出已知：求作：所在的圆所在的圆”的尺规作图过程作法：如图，（1）在上任取三个点 D，C，E；（2）连接 DC，EC；（3）分别作 DC 和 EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 O（4）以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，所以O 即为所求作的请回答：该尺规作图的依据是所在的圆三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6868 分）分）17（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=的图象的一个交点为 A（1，n）求反比例函数 y=的表达式18（5 分）已知二次函数 y=x2+4x+3（1）用配方法将 y=x2+4x+3 化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象19（5 分）已知：如图，在ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的点，且 AD=AE，连接 DE若AC=3，AB=5求证：ADEACB20（5 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8，A=120，求 BC 的长21（5 分）已知：如图，O 的直径 AB 的长为 5cm，C 为O 上的一个点，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BD 的长22（5 分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点 C 到地面的距离即 CD 的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点 A，B，使点 A，B，D 在同一条直线上，测量出 A、B 两点间的距离为 9米；（2）在教室窗户边框上的点C 点处，分别测得点A，B 的俯角ECA=35，ECB=45请你根据以上数据计算出 CD 的长（可能用到的参考数据：sin350.57cos350.82tan350.70）23（5 分）已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边截取两块相邻的正方形板料 当 AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长25（5 分）如图，AB=6cm，CAB=25，P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交射线 AC于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，N 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值均为 0）小海根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00y/cm0.00 0.29 0.47 0.701.20 1.27 1.37 1.36 1.30 1.00 0.49 0.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时，与之对应的 x 值的个数是26（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围27（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点 C 作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sinCAB=，求的值28（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）a 的一边与 x 轴的正半轴重合，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点 P 在第一象限（1）x1=（用含 a 的式子表示）；y1=（用含 a 的式子表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：2017201820172018 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本题共一、选择题（本题共1616 分，每小题分，每小题2 2 分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1抛物线 y=（x2）2+3 的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（3，2）【分析】由于抛物线 y=a（xh）2+k 的顶点坐标为（h，k），由此即可求解【解答】解：抛物线 y=（x2）2+3，顶点坐标为：（2，3）故选：B【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题2如图，点 A，B，P 是O 上的三点，若AOB=40，则APB 的度数为（）A80B140C20D50【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：APB=AOB=40=20故选：C【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径3已知反比例函数 y=Am2，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（）Cm2Dm2Bm2【分析】先根据反比例函数 y=出 m 的取值范围即可【解答】解：反比例函数 y=，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大判断出 12m 的符号，求，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大，m20，m2故选：A【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出12m 的符号是解答此题的关键4在半径为 12cm 的圆中，长为 4cm 的弧所对的圆心角的度数为（）A10B60C90D120【分析】根据弧长的计算公式：l=可求出圆心角的度数【解答】解：根据弧长的公式 l=得到：4=解得 n=60，故选：B，（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 r），代入即，【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义5将二次函数 y=5x2的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的解析式为（）Ay=5（x+2）2+3Cy=5（x+2）23By=5（x2）2+3Dy=5（x2）23【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y=5x2的图象先向右平移 2 个单位所得函数的解析式为：y=5（x2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x2）2的图象先向下平移 3 个单位所得函数的解析式为：y=5（x2）23故选：D【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键6为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，然后找出 AD 与 BC 的交点 E如图所示，若测得 BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽 AB 等于（）A120mB67.5mC40mD30m【分析】由两角对应相等可得BAECDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB【解答】解：ABBC，CDBC，BAECDE，BE=90m，CE=45m，CD=60m，解得：AB=120，故选：A【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例7根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在 40mg/L 以下；如果血乳酸浓度降到 50mg/L 以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是（）A运动后 40min 时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为 350mg/LC运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑 80min 后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可【解答】解：A、运动后 40min 时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为 200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑 40min 后才能基本消除疲劳，错误；故选：C【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决8如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是 0.47；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5；若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45其中合理的是（）ABCD【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，据此进行判断即可【解答】解：当抛掷次数是100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，“正面向上”的概率不一定是 0.47，故错误；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，故正确；若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150 时，“正面向上”的频率不一定是 0.45，故错误故选：B【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1616 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）9如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=2，则 tanB 的值是【分析】直接利用正切的定义求解【解答】解：在 RtABC 中，C=90，tanB=故答案为【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义10计算：2sin60tan 45+4cos30=31【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：原式=2=31，11+4故答案为：3【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键11若ABCDEF，且对应边 BC 与 EF 的比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比等于4：9【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出ABC 与DEF 的面积比【解答】解：ABC 与DEF 的相似比是 2：3，ABC 与DEF 的面积比等于 22：32=4：9【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方12请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式 a 是正数，c=2 即可【解答】解：开口向上，并且与 y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为 y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质13如图，在半径为 5cm 的O 中，如果弦 AB 的长为 8cm，OCAB，垂足为 C，那么 OC 的长为3cm【分析】连接 OA根据垂径定理求得 AC 的长，再进一步根据勾股定理即可求得 OC 的长【解答】解：连接 OAOCAB，弦 AB 长为 8cm，AC=4（cm）根据勾股定理，得OC=故答案为 3=3（cm）【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题14圆心角为 160的扇形的半径为 9cm，则这个扇形的面积是36cm2【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可【解答】解：这个扇形的面积=故答案为：36【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般15若函数 y=ax2+3x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则 a 的取值范围是a且 a0【分析】根据函数与 x 轴有两个交点得出0 且 a0，求出不等式的解集即可=36 cm2【解答】解：函数 y=ax2+3x+1 的图象与 x 轴有两个交点，方程 ax2+3x+1=0 有两个实数根，即=324a0 且 a0，解得：a且 a0，故答案为：a且 a0【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a的不等式是解此题的关键16下面是“作出已知：求作：所在的圆所在的圆”的尺规作图过程作法：如图，（1）在上任取三个点 D，C，E；（2）连接 DC，EC；（3）分别作 DC 和 EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 O（4）以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，所以O 即为所求作的所在的圆请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上【分析】由中垂线的性质知 OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得【解答】解：分别作 DC 和 EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 OOD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），点 A、B、C、D、E 在以 O 为圆心，OC 长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上【点评】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6868 分）分）17（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=的图象的一个交点为 A（1，n）求反比例函数 y=的表达式【分析】把 A 的坐标代入 y=2x，求出 n，得出 A 的坐标，再把 A 的坐标代入反比例函数的解析式求出 k 即可【解答】解：点 A（1，n）在一次函数 y=2x 的图象上，n=（2）（1）=2，点 A 的坐标为（1，2），点 A 在反比例函数 y=的图象上，k=（1）2=2反比例函数的解析式为 y=【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同学们要熟练掌握这种方法18（5 分）已知二次函数 y=x2+4x+3（1）用配方法将 y=x2+4x+3 化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象【分析】（1）利用配方法易得 y=（x+2）21，则抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 x=2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+44）+3=（x=2）21；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）；顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k 是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（xx1）（xx2）（a，b，c 是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x 轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）也考查了二次函数图象与性质19（5 分）已知：如图，在ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的点，且 AD=AE，连接 DE若AC=3，AB=5求证：ADEACB【分析】根据已知条件得到，由于A=A，于是得到ADEACB；【解答】证明：AC=3，AB=5，AD=，A=A，ADEACB【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键20（5 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8，A=120，求 BC 的长【分析】过点 A 作 ADBC 于 D 解直角三角形求出 BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：过点 A 作 ADBC 于 DAB=AC，BAC=120，B=C=30，BC=2BD，在 RtABD 中，ADB=90，B=30，AB=8，cosB=，=4，BD=ABcos30=8BC=8【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21（5 分）已知：如图，O 的直径 AB 的长为 5cm，C 为O 上的一个点，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BD 的长【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=ADB=90，再根据角平分线的定义可得DAC=BCD，然后求出 AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：AB 为直径，ADB=90，CD 平分ACB，ACD=BCD，=AD=BD，在等腰直角三角形 ADB 中，BD=ABsin45=5BD=，【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=ADB=9022（5 分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点 C 到地面的距离即 CD 的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点 A，B，使点 A，B，D 在同一条直线上，测量出 A、B 两点间的距离为 9米；（2）在教室窗户边框上的点C 点处，分别测得点A，B 的俯角ECA=35，ECB=45请你根据以上数据计算出 CD 的长（可能用到的参考数据：sin350.57cos350.82tan350.70）【分析】设 CD=x，在 RtCDB 中，CD=BD=x，在 RtCDA 中 tanCAD=关系可得 AD=AB+BD，进而可得 9+x=【解答】解：由题意可知：CDAD 于 D，ECB=CBD=45，ECA=CAD=35，AB=9设 CD=x，在 RtCDB 中，CDB=90，CBD=45，CD=BD=x，在 RtCDA 中，CDA=90，CAD=35，tanCAD=，再解即可，根据图中的线段AD=，AB=9，AD=AB+BD，9+x=，解得 x=21，答：CD 的长为 21 米【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23（5 分）已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边截取两块相邻的正方形板料 当 AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设 AM 的长为 x 米，则 MB 的长为（2x）米，由题意得出y=x2+（x2）2=2（x1）2+2，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：设 AM 的长为 x 米，则 MB 的长为（2x）米，以 AM 和 MB 为边的两个正方形面积之和为 y 平方米根据题意，y 与 x 之间的函数表达式为 y=x2+（x2）2=2（x1）2+2，因为 20于是，当 x=1 时，y 有最小值，所以，当 AM 的长为 1 米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数 a 决定二次函数图象的开口方向 当 a0 时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；a0 时，抛物线向下开口，函数有最大值24（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 欲证 AC 是半圆 O 的切线，只需证明CAB=90即可；（2）由相似三角形的判定定理 AA 可以判定AEFBAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得 BD 的长即可【解答】解：（1）AB 是半圆直径，BDA=90，B+DAB=90，又DAC=B，DAC+DAB=90，即CAB=90，AC 是半圆 O 的切线（2）由题意知，OEBD，D=90，D=AFO=AFE=90，OEAD，AFE=D=AFO=90，AF=AD=3，又AD=6AF=3又B=DAE，AEFBAD，=，而 EF=4，解得 BD=【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可25（5 分）如图，AB=6cm，CAB=25，P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交射线 AC于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，N 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值均为 0）小海根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00y/cm0.00 0.29 0.47 0.701.20 1.27 1.37 1.36 1.30 1.00 0.49 0.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时，与之对应的 x 值的个数是2 个【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线 y=0.5 与图象的交点，交点的个数是 2 个【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得 x=2.00cm 时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示（3）由图可知，当 y=0.5 时，与之对应的 x 值的个数是 2 个故答案为 2 个【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题26（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）把 m=5 代入 y2，画图象，并求与 x 轴交点 A、B、C 三点的坐标，根据图象可得结论；根据题意结合图象可知 x=3，把 x=3 代入 y2=x2mx+40，当 x=4 时，y2=x2mx+40 即可求得 m 的取值；【解答】解：（1）y2=x2mx+4=（x）2二次函数图象的顶点坐标为：（，+4，+4）（2）当 m=5 时，y1=x1，y2=x25x+4（4 分）如图，当 y1=0 时，x1=0，x=2，A（2，0），当 y2=0 时，x25x+4=0，解得：x=1 或 4，B（1，0），C（4，0），因为 y10，且 y20，由图象，得：2x4（5 分）当 y10 时，自变量 x 的取值范围：x2，如果满足 y10 且 y20 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数，x=3，当 x=3 时，y2=323m+40，解得 m，当 x=4 时，y20，即 164m+40，m5，m 的取值范围是：m5（7 分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想27（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点 C 作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sinCAB=，求的值【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在 RtHGB 与 RtBCG 中，利用三角函数的性质，即可求得【解答】证明：（1）AB 是直径，ACB=90，CGAB 于点 G，ACB=CGB=90CAB=BCG，CEAB，CAB=ACEBCG=ACE又ACE=EBGBCG=EBG，（2）sinCAB=，的值由（1）知，HBG=EBG=ACE=CAB在 RtHGB 中，由（1）知，BCG=CAB在 RtBCG 中，设 GH=a，则 GB=2a，CG=4aCH=CGHG=3a，ECAB，ECH=BGH，CEH=GBHECHBGH，【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用28（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）a 的一边与 x 轴的正半轴重合，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点 P 在第一象限（1）x1=cos（用含 a 的式子表示）；y1=sin（用含 a 的式子表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：1y1+y2【分析】（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E则 OF=OPcos，PF=OPsin，由此即可解决问题；（2）过点P 作 PFx 轴于点 F，过点Q 作 QEx 轴于点 E只要证明QOEOPF 即可解决问题；当 P 在 x 轴上时，得到 y1+y2的最小值为 1，由 y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，即可推出当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E则 OF=OPcos，PF=OPsin，x1=cos，y1=sin，故答案为 cos，sin；（2）结论：y1=x2理由：过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 EPFO=QEO=POQ=90，POF+OPF=90，POF+QOE=90，QOE=OPF，OQ=OP，QOEOPF，PF=OE，P（x1，y1），Q（x2，y2），PF=y1，OE=x2，y1=x2当 P 在 x 轴上时，得到 y1+y2的最小值为 1，y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=当 EF=PQ=1y1+y2，EFPQ，时，得到 y1+y2的最大值为故答案为 1y1+y2【点评】本题考查圆综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型