2022年甘肃省天水市中考数学试卷解析.docx

2022年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分。每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来〕
1．〔4分〕〔2022•天水〕假设a与1互为相反数，那么|a+1|等于〔　　〕

A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
2．〔4分〕〔2022•天水〕如图是某几何体的三视图，该几何体是〔　　〕

A．
圆柱
B．
圆锥
C．
正三棱柱
D．
正三棱锥
3．〔4分〕〔2022•天水〕某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为〔　　〕

A．
6.7×10﹣5
B．
6.7×10﹣6
C．
0.67×10﹣5
D．
6.7×10﹣6
4．〔4分〕〔2022•天水〕在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如表
人数
3
4
2
1
分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是〔　　〕

A．
85和82.5
B．
85.5和85
C．
85和85
D．
85.5和80
5．〔4分〕〔2022•天水〕二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象经过点〔1，1〕，那么a+b+1的值是〔　　〕

A．
﹣3
B．
﹣1
C．
2
D．
3
6．〔4分〕〔2022•天水〕一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，那么该圆柱的底面圆半径是〔　　〕

A．

B．

C．
或
D．
或
7．〔4分〕〔2022•天水〕如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，那么∠AED′的度数是〔　　〕

A．
65°
B．
55°
C．
50°
D．
25°
8．〔4分〕〔2022•天水〕如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．假设点P到BD的距离为，那么点P的个数为〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
9．〔4分〕〔2022•天水〕如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径〔C点与A点不重合〕，CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．那么以下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

10．〔4分〕〔2022•天水〕定义运算：a⊗b=a〔1﹣b〕．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗〔﹣2〕=6，②a⊗b=b⊗a，③假设a+b=0，那么〔a⊗a〕+〔b⊗b〕=2ab，④假设a⊗b=0，那么a=0或b=1，其中结论正确的序号是〔　　〕

A．
①④
B．
①③
C．
②③④
D．
①②④
二、填空题〔本大题共8小题，每题4分，共32分。只要求填写最简结果〕
11．〔4分〕〔2022•天水〕相切两圆的半径分别是5和3，那么该两圆的圆心距是．
12．〔4分〕〔2022•天水〕不等式组的所有整数解是．
13．〔4分〕〔2022•天水〕如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，那么∠AED的正切值为．
14．〔4分〕〔2022•天水〕一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．
15．〔4分〕〔2022•天水〕如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．
16．〔4分〕〔2022•天水〕如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．
17．〔4分〕〔2022•天水〕以下函数〔其中n为常数，且n＞1〕
①y=〔x＞0〕；②y=〔n﹣1〕x；③y=〔x＞0〕；④y=〔1﹣n〕x+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0〕中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．
18．〔4分〕〔2022•天水〕正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，那么点A3的坐标为．
三、解答题〔本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程。〕
19．〔9分〕〔2022•天水〕计算：
〔1〕〔π﹣3〕0+﹣2cos45°﹣
〔2〕假设x+=3，求的值．
20．〔9分〕〔2022•天水〕2022年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°〔如图〕．试确定生命所在点C与探测面的距离．〔参考数据≈1.41，≈1.73〕
21．〔10分〕〔2022•天水〕如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为〔﹣3，0〕，经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
〔1〕求B点的坐标；
〔2〕过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
四、解答题〔本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。〕
22．〔8分〕〔2022•天水〕钓鱼岛是我国固有领土．某校七年级〔15〕班举行“爱国教育〞为主题班会时，就有关钓鱼岛新闻的获取途径，对本班50名学生进行调查〔要求每位同学，只选自己最认可的一项〕，并绘制如下列图的扇形统计图．
〔1〕该班学生选择“报刊〞的有人．在扇形统计图中，“其它〞所在扇形区域的圆心角是度．〔直接填结果〕
〔2〕如果该校七年级有1500名学生，利用样本估计选择“网站〞的七年级学生约有人．〔直接填结果〕
〔3〕如果七年级〔15〕班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查，求恰好选用“网站〞和“课堂〞的概率．〔用树状图或列表法分析解答〕
23．〔8分〕〔2022•天水〕天水“伏羲文化节〞商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的方法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
〔1〕写出每天所得的利润y〔元〕与售价x〔元/件〕之间的函数关系式．
〔2〕每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大最大利润是多少元
24．〔10分〕〔2022•天水〕如图，点A〔m，6〕、B〔n，1〕在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
〔1〕求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
〔2〕点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．
25．〔12分〕〔2022•天水〕如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
〔1〕AC•PD=AP•BC；
〔2〕PE=PD．
26．〔12分〕〔2022•天水〕在平面直角坐标系中，y=﹣x2+bx+c〔b、c为常数〕的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为〔0，﹣1〕，点C的坐标为〔4，3〕，直角顶点B在第四象限．
〔1〕如图，假设抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
〔2〕平移〔1〕中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
〔3〕在〔2〕的情况下，假设沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值假设存在，求出该最小值；假设不存在，请说明理由．
2022年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分。每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来〕
1．〔4分〕〔2022•天水〕假设a与1互为相反数，那么|a+1|等于〔　　〕

A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
考点：
绝对值；相反数．菁优网版权所有
分析：
根据绝对值和相反数的定义求解即可．
解答：
解：因为互为相反数的两数和为0，所以a+1=0；
因为0的绝对值是0，那么|a+1|=|0|=0．
应选B．
点评：
此题考查了绝对值与相反数，绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．〔4分〕〔2022•天水〕如图是某几何体的三视图，该几何体是〔　　〕

A．
圆柱
B．
圆锥
C．
正三棱柱
D．
正三棱锥
考点：
由三视图判断几何体．菁优网版权所有
分析：
根据三视图易得此几何体为圆锥．
解答：
解：根据几何体的三视图即可知道几何体是圆锥．
应选B．
点评：
此题主要考查了由三视图判断几何体的应用，关键是能理解三视图的意义，培养了学生的观察图形的能力．
3．〔4分〕〔2022•天水〕某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为〔　　〕

A．
6.7×10﹣5
B．
6.7×10﹣6
C．
0.67×10﹣5
D．
6.7×10﹣6
考点：
科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
分析：
直接根据科学计数法的表示方法即可得出结论．
解答：
解：∵0.000067中第一位非零数字前有5个0，
∴0.000067用科学记数法表示为6.7×10﹣5．
应选A．
点评：
此题考查的是科学计数法，再用科学计数法表示小于0的数时，n的值等于第一位非零数字前所有0的个数〔含小数点前的0〕．
4．〔4分〕〔2022•天水〕在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如表
人数
3
4
2
1
分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是〔　　〕

A．
85和82.5
B．
85.5和85
C．
85和85
D．
85.5和80
考点：
众数；中位数．菁优网版权所有
分析：
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答：
解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；
而将这组数据从小到大的顺序排列80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，
处于中间位置的那个数是85，85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是=85；
应选：C．
点评：
此题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新排列后，最中间的那个数〔或最中间两个数的平均数〕，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．〔4分〕〔2022•天水〕二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象经过点〔1，1〕，那么a+b+1的值是〔　　〕

A．
﹣3
B．
﹣1
C．
2
D．
3
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据二次函数图象上点的坐标特征，把〔1，1〕代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值．
解答：
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1〔a≠0〕的图象经过点〔1，1〕，
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3．
应选D．
点评：
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
6．〔4分〕〔2022•天水〕一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，那么该圆柱的底面圆半径是〔　　〕

A．

B．

C．
或
D．
或
考点：
几何体的展开图．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分8为底面周长与6为底面周长两种情况，求出底面半径即可．
解答：
解：假设6为圆柱的高，8为底面周长，此时底面半径为=；
假设8为圆柱的高，6为底面周长，此时底面半径为=，
应选C．
点评：
此题考查了几何体的展开图，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意不重不漏，考虑问题要全面．
7．〔4分〕〔2022•天水〕如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，那么∠AED′的度数是〔　　〕

A．
65°
B．
55°
C．
50°
D．
25°
考点：
平行线的性质；翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
先根据平行线的性质求出∠DEF的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠DED′的度数，根据补角的定义即可得出结论．
解答：
解：∵AD∥BC，∠EFB=65°，
∴∠DEF=65°，
∴∠DED′=2∠DEF=130°，
∴∠AED′=180°﹣130°=50°．
应选C．
点评：
此题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
8．〔4分〕〔2022•天水〕如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．假设点P到BD的距离为，那么点P的个数为〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
等腰直角三角形；点到直线的距离．菁优网版权所有
分析：
首先作出AB、AD边上的点P〔点A〕到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P〔点C〕到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由计算出AE、CF的长与比较得出答案．
解答：
解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°
=2•=2＞，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，
应选A．

点评：
此题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
9．〔4分〕〔2022•天水〕如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径〔C点与A点不重合〕，CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．那么以下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象．菁优网版权所有
分析：
根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值，据此可以得到函数的图象．
解答：
解：作OH⊥CD于点H，
∴H为CD的中点，
∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，
∴OH为直角梯形的中位线，
∵弦CD为定长，
∴CF+DE=y为定值，
应选B．

点评：
此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为静．
10．〔4分〕〔2022•天水〕定义运算：a⊗b=a〔1﹣b〕．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗〔﹣2〕=6，②a⊗b=b⊗a，③假设a+b=0，那么〔a⊗a〕+〔b⊗b〕=2ab，④假设a⊗b=0，那么a=0或b=1，其中结论正确的序号是〔　　〕

A．
①④
B．
①③
C．
②③④
D．
①②④
考点：
整式的混合运算；有理数的混合运算．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：根据题意得：2⊗〔﹣2〕=2×〔1+2〕=6，选项①正确；
a⊗b=a〔1﹣b〕=a﹣ab，b⊗a=b〔1﹣a〕=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
〔a⊗a〕+〔b⊗b〕=a〔1﹣a〕+b〔1﹣b〕=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；
假设a⊗b=a〔1﹣b〕=0，那么a=0或b=1，选项④正确，
应选A
点评：
此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
二、填空题〔本大题共8小题，每题4分，共32分。只要求填写最简结果〕
11．〔4分〕〔2022•天水〕相切两圆的半径分别是5和3，那么该两圆的圆心距是　2或8　．
考点：
圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据两圆内切或外切两种情况，求出圆心距即可．
解答：
解：假设两圆内切，圆心距为5﹣3=2；
假设两圆外切，圆心距为5+3=8，
故答案为：2或8
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系，利用了分类讨论的思想，分类讨论时做到不重不漏，考虑问题要全面．
12．〔4分〕〔2022•天水〕不等式组的所有整数解是　0　．
考点：
一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
分析：
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．
解答：
解：，
解不等式①得，x＞﹣，
解不等式②得，x＜1，
所以不等式组的解集为﹣x＜1，
所以原不等式组的整数解是0．
故答案为：0．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到〔无解〕．
13．〔4分〕〔2022•天水〕如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，那么∠AED的正切值为．
考点：
圆周角定理；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
专题：
网格型．
分析：
根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可．
解答：
解：由图可得，∠AED=∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB=2，AC=1，
那么tan∠ABC==，
∴tan∠AED=．
故答案为：．
点评：
此题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答此题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．
14．〔4分〕〔2022•天水〕一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是　x1=x2=．
考点：
解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
分析：
先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．
解答：
解：x2+3﹣2x=0
〔x﹣〕2=0
∴x1=x2=．
故答案为：x1=x2=．
点评：
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解此题的关键．
15．〔4分〕〔2022•天水〕如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　8　米．
考点：
相似三角形的应用．菁优网版权所有
分析：
首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．
解答：
解：由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，
∴=，
CD=8米，
故答案为：8．

点评：
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16．〔4分〕〔2022•天水〕如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　4π　．
考点：
弧长的计算；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
解答：
解：弧CD的长是=，
弧DE的长是：=，
弧EF的长是：=2π，
那么曲线CDEF的长是：++2π=4π．
故答案为：4π．
点评：
此题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．
17．〔4分〕〔2022•天水〕以下函数〔其中n为常数，且n＞1〕
①y=〔x＞0〕；②y=〔n﹣1〕x；③y=〔x＞0〕；④y=〔1﹣n〕x+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0〕中，y的值随x的值增大而增大的函数有　3　个．
考点：
二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
分析：
分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可．
解答：
解：①y=〔x＞0〕，n＞1，y的值随x的值增大而减小；
②y=〔n﹣1〕x，n＞1，y的值随x的值增大而增大；
③y=〔x＞0〕n＞1，y的值随x的值增大而增大；
④y=〔1﹣n〕x+1，n＞1，y的值随x的值增大而减小；
⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0〕中，n＞1，y的值随x的值增大而增大；
y的值随x的值增大而增大的函数有3个，
故答案为：3．
点评：
此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数y=kx〔k≠0〕，k＞0时，y的值随x的值增大而增大；一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
18．〔4分〕〔2022•天水〕正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，那么点A3的坐标为　〔，0〕　．
考点：
正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
设正方形OA1B1C1的边长为t，那么B1〔t，t〕，根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B1〔1，1〕，然后利用同样的方法可求得B2〔，〕，B3〔，〕，那么A3〔，0〕．
解答：
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，那么B1〔t，t〕，所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B1〔1，1〕；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，那么B2〔1+a，a〕，a=﹣〔1+a〕+2，解得a=，得到B2〔，〕；
设正方形A2A3B3C3的边长为b，那么B3〔+b，b〕，b=﹣〔+b〕+2，解得b=，得到B3〔，〕，
所以A3〔，0〕．
故答案为〔，0〕．
点评：
此题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题〔本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程。〕
19．〔9分〕〔2022•天水〕计算：
〔1〕〔π﹣3〕0+﹣2cos45°﹣
〔2〕假设x+=3，求的值．
考点：
实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答；
〔2〕分子分母同时除以x2，配方后整体代入即可解答．
解答：
解：〔1〕原式=1+3﹣2×﹣8=2﹣7；
〔2〕原式==
=
=
=．
点评：
〔1〕此题考查了实数运算，熟悉0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义是解题的关键；
〔2〕此题考查了分式的化简求值，熟悉配方法是解题的关键．
20．〔9分〕〔2022•天水〕2022年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°〔如图〕．试确定生命所在点C与探测面的距离．〔参考数据≈1.41，≈1.73〕
考点：
解直角三角形的应用．菁优网版权所有
分析：
首先过C作CD⊥AB，设CD=x米，那么DB=CD=x米，AD=CD=x米，再根据AB相距2米可得方程x﹣x=2，再解即可．
解答：
解：过C作CD⊥AB，
设CD=x米，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBD=45°，
∴DB=CD=x米，
∵∠CAD=30°，
∴AD=CD=x米，
∵AB相距2米，
∴x﹣x=2，
解得：x=．
答：命所在点C与探测面的距离是米．

点评：
此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是正确分析出CD、AD、BD的关系．
21．〔10分〕〔2022•天水〕如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为〔﹣3，0〕，经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
〔1〕求B点的坐标；
〔2〕过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
代数综合题；压轴题．
分析：
〔1〕由于∠AOB=90°，故AB是直径，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，那么B点的坐标为〔0，﹣4〕；
〔2〕由于BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因为∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐标为〔，0〕，把B，D两点坐标代入一次函数的解析式便可求出k，b的值，从而求出其解析式．
解答：
解：〔1〕∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，且AB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，
∴B点的坐标为〔0，﹣4〕；

〔2〕∵BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ADB=90°
又∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠DBO，
∵∠AOB=∠BOD=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴=，
∴OD===，
∴D的坐标为〔，0〕
设直线BD的解析式为y=kx+b〔k≠0，k、b为常数〕，
那么有，∴，
∴直线BD的解析式为y=x﹣4．
点评：
此题较复杂，把一次函数与圆的相关知识相结合，利用勾股定理及相似三角形的性质解答，是中学阶段的重点内容．
四、解答题〔本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。〕
22．〔8分〕〔2022•天水〕钓鱼岛是我国固有领土．某校七年级〔15〕班举行“爱国教育〞为主题班会时，就有关钓鱼岛新闻的获取途径，对本班50名学生进行调查〔要求每位同学，只选自己最认可的一项〕，并绘制如下列图的扇形统计图．
〔1〕该班学生选择“报刊〞的有　6　人．在扇形统计图中，“其它〞所在扇形区域的圆心角是　36　度．〔直接填结果〕
〔2〕如果该校七年级有1500名学生，利用样本估计选择“网站〞的七年级学生约有　420　人．〔直接填结果〕
〔3〕如果七年级〔15〕班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查，求恰好选用“网站〞和“课堂〞的概率．〔用树状图或列表法分析解答〕
考点：
列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕根据扇形统计图及调查学生总数为50名，求出所求即可；
〔2〕根据样本中选择“网站〞的七年级学生百分数，乘以1500即可得到结果；
〔3〕列表得出所有等可能的情况数，找出恰好选用“网站〞和“课堂〞的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：〔1〕根据题意得：50×12%=6〔人〕，360°×10%=36°，
那么该班学生选择“报刊〞的有6人．在扇形统计图中，“其它〞所在扇形区域的圆心角是36度；
故答案为：6；36；
〔2〕根据题意得：1500×28%=420〔人〕；
故答案为：420；
〔3〕列表如下：〔A表示报刊；B表示网站；C表示其它；D表示课堂；E表示电视〕

A
B
C
D
E
A
﹣﹣﹣
〔B，A〕
〔C，A〕
〔D，A〕
〔E，A〕
B
〔A，B〕
﹣﹣﹣
〔C，B〕
〔D，B〕
〔E，B〕
C
〔A，C〕
〔B，C〕
﹣﹣﹣
〔D，C〕
〔E，C〕
D
〔A，D〕
〔B，D〕
〔C，D〕
﹣﹣﹣
〔E，D〕
E
〔A，E〕
〔B，E〕
〔C，E〕
〔D，E〕
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，恰好选用“网站〞和“课堂〞的情况有2种，
那么P==．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解此题的关键．
23．〔8分〕〔2022•天水〕天水“伏羲文化节〞商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的方法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
〔1〕写出每天所得的利润y〔元〕与售价x〔元/件〕之间的函数关系式．
〔2〕每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大最大利润是多少元
考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据题中等量关系为：利润=〔售价﹣进价〕×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；
〔2〕将〔1〕中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
解答：
解：〔1〕根据题中等量关系为：利润=〔售价﹣进价〕×售出件数，
列出方程式为：y=〔x﹣8〕[20﹣4〔x﹣9〕]，
即y=﹣4x2+88x﹣448〔9≤x≤14〕；

〔2〕将〔1〕中方程式配方得：
y=﹣4〔x﹣11〕2+36，
∴当x=11时，y最大=36元，
答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．
点评：
此题考查的是二次函数的应用，熟知利润=〔售价﹣进价〕×售出件数是解答此题的关键．
24．〔10分〕〔2022•天水〕如图，点A〔m，6〕、B〔n，1〕在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
〔1〕求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
〔2〕点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．
考点：
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
〔2〕设E〔x，0〕，表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．
解答：
解：〔1〕由题意得：，
解得：，
∴A〔1，6〕，B〔6，1〕，
设反比例函数解析式为y=，
将A〔1，6〕代入得：k=6，
那么反比例解析式为y=；
〔2〕设E〔x，0〕，那么DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
那么S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=〔BC+AD〕•DC﹣DE•AD﹣CE•BC
=×〔1+6〕×5﹣〔x﹣1〕×6﹣〔6﹣x〕×1
=﹣x
=10，
解得：x=3，
那么E〔3，0〕．

点评：
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．
25．〔12分〕〔2022•天水〕如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
〔1〕AC•PD=AP•BC；
〔2〕PE=PD．
考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
〔1〕首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．
〔2〕首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可．
解答：
解：〔1〕∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴=…①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE=∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴===…②，
由①②，可得ED=2EP，
∴PE=PD．

〔2〕∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴，
∵PE=PD，
∴，
∴AC•PD=AP•BC．
点评：
〔1〕此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
〔2〕此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
26．〔12分〕〔2022•天水〕在平面直角坐标系中，y=﹣x2+bx+c〔b、c为常数〕的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为〔0，﹣1〕，点C的坐标为〔4，3〕，直角顶点B在第四象限．
〔1〕如图，假设抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
〔2〕平移〔1〕中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
〔3〕在〔2〕的情况下，假设沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值假设存在，求出该最小值；假设不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
〔2〕如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；
〔3〕如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F〔AB中点〕三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
解答：
解：〔1〕∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为〔0，﹣1〕，C的坐标为〔4，3〕
∴点B的坐标为〔4，﹣1〕．
∵抛物线过A〔0，﹣1〕，B〔4，﹣1〕两点，
∴，
解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．
〔2〕如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为〔0，﹣1〕，点C的坐标为〔4，3〕，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰