2013年高考理科数学上海卷.docx

--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(理工农医类)
姓名________________ 准考证号_____________
考生注意：
1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.计算：　　　　.
2.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则　　　　.
3.若,则　　　　.
4.已知的内角、、所对的边分别为、、.若,则角的大小是　　　　（结果用反三角函数值表示）.
5.设常数.若的二项展开式中项的系数为,则　　　　.
6.方程的实数解为　　　　.
7.在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为　　　　.
8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是　　　　（结果用最简分数表示）.
9.设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为　　　　.
10.设非零常数是等差数列,,…,的公差,随机变量等可能地取值,,…,,则方差　　　　.
11.若,,则　　　　.
12.设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,.若
对一切成立,则的取值范围为　　　　.
13.在平面上,将两个半圆弧和、两条直
线和围成的封闭图形记为,如
图中阴影部分.记绕轴旋转一周而成的
几何体为.过作的水
平截面,所得截面面积为,试
利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方
体,得出的体积值为　　　　.
14.对区间上有定义的函数,记,.已知定义域为
的函数有反函数,且,.若
方程有解,则　　　　.
二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.设常数,集合,.若,则的
取值范围为 (　　)
A. B. C. D.
16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 (　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
17.在数列中,.若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素
（,,…,；,,…,）,则该矩阵元素能取到的
不同数值的个数为 (　　)
A.18 B.28 C.48 D.63
18.在边长为1的正六边形中,记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若、分别为的最小值、最大值,其中,，则,满足 (　　)
A., B.,
C., D.,
三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图,在长方体中,,,.证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求）,每一小时可获得利润是元.
（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求的取值范围；
（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数,其中常数.
（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围；
（Ⅱ）令,将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象.区间（，且）满足：在上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的中,求的最小值.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小
题满分8分.
如图,已知双曲线,曲线.是平面内一点,若存在过点
的直线与、都有公共点,则称为“型点”.
（Ⅰ）在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写
出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（Ⅱ）设直线与有公共点,求证：,进而证明原点不是“型点”；
（Ⅲ）求证：圆内的点都不是“型点”.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小
题满分9分.
给定常数,定义函数.数列,,,…满足
,.
（Ⅰ）若,求及；
（Ⅱ）求证：对任意,；
（Ⅲ）是否存在,使得,,,…,,…成等差数列？若存在,求出所有这样的
；若不存在,说明理由.

数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页）