2019_2020学年九年级数学上册期末考点大串讲二次函数和一元二次方程含解析新版新人教版.docx

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二次函数和一元二次方程
知识网络

重难突破
知识点一 二次函数与一元二次方程之间的联系
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.
例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x 的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.
典例1 （2018·辽宁初三期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）

A．-1<x<5 B．x>5 C．x<-1且x>5 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5。故选D。
典例2 （2018·山东初三期末）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＞ B．m＜﹣
C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞
【答案】A
【详解】∵x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根，
∴△=4m2-160,解得：m或m-2,
∵二次函数开口向上,有一个根小于1，另一个根大于3，即表明当x=1和x=3是都出现在x轴下方,
∴1-2m+4且9-6m+4,解得：m,
综上, m＞
故选A
典例3 （2017·陕西初三期中）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09

判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(　　)
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】分析：根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．
解答：解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．
故选C．

知识点二 抛物线与x轴的交点情况
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴的公共点的个数
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
典例1（2018·湖北初三期末）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选A．
典例2 （2018·辽宁初三期中）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【答案】B
【详解】解：由二次函数y=x2-6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，
∵其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，
故选：C．

巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018春 福州市期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【答案】A
【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．（2018春 宿州市期末）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【答案】B
【详解】解：由二次函数y=x2-6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，
∵其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，
故选：C．
【名师点睛】考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
3．（2018春 南昌市期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为( )

A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【详解】一元二次方程ax2＋bx＋m－1＝0有两个不相等的实数根，可以理解为y＝ax2＋bx和y＝1－m有交点，可见1－m＜2，∴m＞－1，∴m的最小值为0，故答案选A.
【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax2＋bx＋m－1＝0有实数根，可以理解为y＝ax2＋bx和y＝1－m有交点”这句话的意义.
4．（2018春 广州市期末）已知m，n（m<n）是关于x的方程（x–a）（x–b）=2的两根，若a<b，则下列判断正确的是
A．a<m<b<n B．m<a<n<b
C．a<m<n<d D．m<a<b<n
【答案】D
【详解】解：∵（x-a）（x-b）=2，
∴m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标，
∵抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，

∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标是解决问题的关键．
5．（2018春 大连市期末）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A．y=-2x2 B．y=2x2 C．y= - 12 x2 D．y=12 x2
【答案】C
【解析】抛物线顶点为（0,0），所以设抛物线方程为y=ax2(a<0);（2，-2）是图像上的点，所以-2=a×22,∴a=-12;故选C
6．（2018春 常德市期末）已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( )
A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2 C．–2<x1<3<x2 D．x1<–2<x2<3
【答案】B
【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）
∵y=0时，x=-2或x=3，
∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），
∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，
∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，
∵-1<0，
∴两个抛物线的开口向下，
∴x1＜﹣2＜3＜x2，
故选B.
【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.
7．（2019春 大东区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴一个交点为(-2,0)，对称轴为直线x=1，则y<0时x的范围是(　　)

A．x>4或x<-2 B．-2<x<4
C．-2<x<3 D．0<x<3
【答案】B
【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B．
8．（2019春 宝鸡市期末）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【答案】D
【解析】（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，
∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，
∴k=3；
（2）当k≠3时，y=（k-3）x2+2x+1是二次函数，
∵二次函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴b2-4ac≥0，
∵b2-4ac=22-4（k-3）=-4k+16，
∴-4k+16≥0，∴k≤4且k≠3，
综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4，
故选D.
【名师点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9．（2018春 黄石市期末）如图，已知二次函数的部分图象，由图象可估计关于的一元二次方程的两个根分别是，

A．-1.6 B．3.2
C．4.4 D．5.2
【答案】C
【详解】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3=x1+x2，
而x1=1.6，
∴x2=4.4．
故选C．
【名师点睛】此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．
10．（2017春 石家庄市期末）已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是(　　)
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3
【答案】D
【详解】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m得, 0=1+2+m,
解得m=-3,
则得方程为: x2－2x-3=0,
解得x+1x-3=0,
x1=-1,x2=3.
所以D选项是正确的.
故选：D.
【名师点睛】本题考核知识点：本题考查了抛物线与x轴的交点,要知道,抛物线上的点符合函数的解析式,同时要知道一元二次方程的解法.

二、填空题（共5小题）
11．（2017春 泸州市期中）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____．
【答案】k＜4
【详解】∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，即（-4）2-4k>0，
∴k＜4，
故答案为：k＜4.
【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.
12．（2018春 芜湖市期中）已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件_____．
【答案】c＞43
【详解】抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上，
其顶点的纵坐标为：4ac-b24a=4×3c--424×3=3c-43，
由于抛物线的顶点在x轴上方，
所以3c-43＞0，
解得：c＞43，
故答案为：c＞43.
【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通过根的判别式小于0来求解..
13．（2019春 黔东南区期末）若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【答案】－1或2或1
【解析】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1.
14．（2018秋 常州市期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为(1 ， 0)，与y轴的交点为(0 ， 3)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为__________．

【答案】x1=1，x2=-3
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（-3，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为：x1=1，x2=-3．
故答案为：x1=1，x2=-3．
【名师点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．
15．（2018春 汕头市期末）如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线.若其与x轴一交点为A(3，0)则由图象可知，不等式的解集是_______.

【答案】﹣1＜x＜3
【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴-1＜x＜3．
三、解答题（共2小题）
16．（2018春 武清区期中）已知二次函数y=2x-1x-m-3（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？
【答案】（1）证明见解析；（2）m>-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.
【解析】分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标x1=1，x2=m+3,即可得出答案;
(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.
详解：
（1）证明：当y=0时，2x-1x-m-3=0.
解得x1=1，x2=m+3.
当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.
（2）解：当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.
当2m+6>0，即m>-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.
【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.
17．（2019春 长沙市期末）二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．

(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）l＜x＜3；（3）当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）k＜2．
【解析】1）图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1 或x=3；
（2）不等式ax2+bx+c>时，通过图中可以看出：当1<x<3时，y 的值>0，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为(1，3)；
（3）图中可以看出对称轴为x=2，
∴当x>2时，y随x的增大而减小；
（4）∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，
∴，
解得：a=−2，b=8，c=−6，
∴−2x2+8x−6=k,移项得−2x2+8x−6−k=0，
△=64−4(−2)(−6−k)>0，
整理得：16−8k>0，
∴k<2时,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。