2022年高考理科数学全国卷3-答案.doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】∵,,∴,故选C.
2.【答案】D
【解析】,故选D.
3.【答案】A
【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.
4.【答案】B
【解析】由,得.故选B.
5.【答案】C
【解析】的展开式的通项,令,得,所以的系数为.故选C.
6.【答案】A
【解析】由圆可得圆心坐标,半径,的面积记为,点到直线的距离记为,则有.易知,,,所以,故选A.
7.【答案】D
【解析】∵,∴,令,解得或,此时,递增；令,解得或,此时,递减.由此可得的大致图象.故选D.
8.【答案】B
【解析】由题知,则,解得或.又∵,即,∴,故选B.
9.【答案】C
【解析】根据余弦定理得,因为,所以,又,所以,因为，所以.故选C.
10.【答案】B
【解析】设的边长为,则,解得(负值舍去).的外接圆半径满足,得,球心到平面的距离为.所以点到平面的最大距离为,所以三棱锥体积的最大值为,故选B.
11.【答案】C
【解析】点到渐近线的距离,而,所以在中,由勾股定理可得,所以.在中,,在中,,所以,则有,解得(负值舍去),即.故选C.

12.【答案】B
【解析】解法一：∵,,∴,排除C.
∵,,即,,∴,排除D.
∵,∴,∴,排除A.故选B.
解法二：易知,,∴,,
∵,
即,∴,
∴.故选B.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】由已知得.又,,所以,解得.
14.【答案】
【解析】设,则,所以曲线在点处的切线的斜率,解得.
15.【答案】
【解析】令,得,解得.当时,；当时,；当时,,又,所以满足要求的零点有3个.
16.【答案】
【解析】解法一：由题意可知的焦点坐标为,所以过焦点,斜率为的直线方程为,设,,将直线方程与抛物线方程联立得整理得,从而得,.∵,,∴,即,即,解得.
解法二：设，,则②-①得,从而.设的中点为，连接.∵直线过抛物线的焦点，∴以线段为直径的与准线相切.∵,,∴点在准线上,同时在上,∴准线是的切线,切点,且,即与轴平行,∴点的纵坐标为,即,故.
故答案为：.
三、解答题
17.【答案】(1)解：设的公比为,由题设得.
由已知得,解得(舍去)或或.
故或.
(2)若,则.
由得.此方程没有正整数解.
若,则.由得,解得.
综上,.
【解析】(1)解：设的公比为,由题设得.
由已知得,解得(舍去)或或.
故或.
(2)若,则.
由得。此方程没有正整数解.
若,则.由得,解得.
综上,.
18.【答案】(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟。因此第二种生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟。因此第二种生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.【答案】(1)由题设知,平面平面,交线为.因为,平面,所以平面,故.
因为为上异于,的点,且为直径,所以.
又,所以⊥平面.
而平面,故平面⊥平面.
(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

当三棱锥体积最大时,为的中点.
由题设得,,,,,,,.
设是平面的法向量,则
即
可取.
是平面的法向量,因此
,.
所以面与面所成二面角的正弦值是.
【解析】(1)由题设知,平面平面,交线为.因为,平面,所以平面,故.
因为为上异于,的点,且为直径,所以.
又,所以⊥平面.
而平面,故平面⊥平面.
(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

当三棱锥体积最大时,为的中点.
由题设得,,,,,,,.
设是平面的法向量,则
即
可取.
是平面的法向量,因此
,.
所以面与面所成二面角的正弦值是.
20.【答案】(1)设,,则,.
两式相减,并由得.
由题设知,,于是.
由题设得,故.
(2)由题意得.设,则.
由(1)及题设得,.
又点在上,所以,从而,.
于是.
同理，.
所以.
故,即,,成等差数列.
设该数列的公差为,则
.②
将代入①得.
所以的方程为,代入的方程,并整理得.
故,,代入②解得.
所以该数列的公差为或.
【解析】(1)设,,则,.
两式相减,并由得.
由题设知,,于是.
由题设得,故.
(2) 由题意得.设,则.
由(1)及题设得,.
又点在上,所以,从而,.
于是.
同理，.
所以.
故,即,,成等差数列.
设该数列的公差为,则
.②
将代入①得.
所以的方程为,代入的方程,并整理得.
故,,代入②解得.
所以该数列的公差为或.
21.【答案】(1)当时,,.
设函数,则.
当时,；
当时,.故当时,,且仅当时,,
从而,且仅当时,.
所以在单调递增.
又,故当时,；当时,.
(2)(i)若,由(1)知,当时,,这与是的极大值点矛盾.
(ii)若,设函数.
由于当时,,故与符号相同.
又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果,则当,且时,,故不是的极大值点.
如果,则存在根,故当,且时,,所以不是的极大值点.
如果,则.则当时,；
当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点。
综上,.
【解析】(1)当时,,.
设函数,则.
当时,；
当时,.故当时,,且仅当时,,
从而,且仅当时,.
所以在单调递增.
又,故当时,；当时,.
(2)(i)若,由(1)知,当时,,这与是的极大值点矛盾.
(ii)若,设函数.
由于当时,,故与符号相同.
又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果,则当,且时,,故不是的极大值点.
如果,则存在根,故当,且时,,所以不是的极大值点.
如果,则.则当时,；
当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点。
综上,.
22.【答案】(1)的直角坐标方程为.
当时,与交于两点.
当时,记,则的方程为.与交于两点当且仅当,解得或,即或.
综上,的取值范围是.
(2)的参数方程为(为参数,).
设,,对应的参数分别为,,,则,且,满足.
于是,.
又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是(为参数,).
【解析】(1)的直角坐标方程为.
当时,与交于两点.
当时,记,则的方程为.与交于两点当且仅当,解得或,即或.
综上,的取值范围是.
(2)的参数方程为(为参数,).
设,,对应的参数分别为,,,则,且,满足.
于是,.
又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是(为参数,).
23.【答案】(1)
的图象如图所示.

(2)由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
【解析】(1)
的图象如图所示.

(2)由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
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