2022届高考数学总复习课时跟踪练十四导数与函数的单调性基次文含解析新人教A版.doc

课时跟踪练(十四)
A组　基础巩固
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
解析：易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，
所以f′(x)<0，则f(x)＝cos x－x在(0，π)上单调递减．
答案：D
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)

解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足．
答案：D
3．(2019·龙泉二中月考)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．不存在这样的实数k
C．－2<k<2
D．－3<k<－1或1<k<3
解析：因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2，
若函数f(x)＝x3－12x在(k－1，k＋1)上不是单调函数，
则方程f′(x)＝0在(k－1，k＋1)内有解．
所以k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3.
答案：D
4．若f(x)＝，e<a<b，则(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1
解析：f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，所以f(a)>f(b)．
答案：A
5．(2019·保定一中模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，
因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1.
答案：B
6．(2017·山东卷)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
解析：若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．
对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．
经验证，选项B，C，D均不符合题意．
故选A.
答案：A
7．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
解析：F′(x)＝＝，
又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0.
所以F(x)在定义域R上单调递减．
由F(x)<＝F(1)，得x>1.
所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．
答案：B
8．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．
解析：因为f′(x)＝2x－＝(x>0)，所以当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，因此f(x)的单调递减区间是(0，1)．
答案：(0，1)
9．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．
答案：(－3，0)∪(0，＋∞)
10．(2019·昆明调研)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
解析：设F(x)＝f(x)－x，所以F′(x)＝f′(x)－，
因为f′(x)<，所以F′(x)＝f′(x)－<0，
即函数F(x)在R上单调递减．
因为f(x2)<＋，所以f(x2)－<f(1)－，
所以F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，
所以x2>1，解得x<－1或x>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．
答案：{x|x<－1或x>1}
11．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝ .
故当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
12．(2019·徐州调研)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0.
(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0得x＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即ex－1>x，
从而g(x)＝－＝>0.
故当x>1时，g(x)>0.
B组　素养提升
13．(2019·湖北联考)若函数f(x)＝kex－x2在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________．
解析：由f(x)＝kex－x2，得f′(x)＝kex－x.
因为函数f(x)＝kex－x2在(0，＋∞)上单调递增．
所以f′(x)＝kex－x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即k≥在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，所以当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝，所以k≥.
答案：
14．(2019·天津市滨海新区八校联考)设函数f(x)＝x2ex.
(1)求在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[－2，2]时，使得不等式f(x)≤2a＋1能成立的实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝2xex＋x2ex，所以k＝f′(1)＝3e，且f(1)＝e.
故切线方程为3ex－y－2e＝0.
(2)令f′(x)>0，即xex(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
令f′(x)<0，得－2<x<0.
所以f(x)的单调增区间是(－∞，－2)和(0，＋∞)，单调减区间是(－2，0)．
(3)由(2)知f(x)在区间(－2，0)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增．
所以f(x)min＝f(0)＝0.
当x∈[－2，2]时，不等式f(x)≤2a＋1能成立，须2a＋1≥f(x)min，即2a＋1≥0，故a≥－，
所以实数a的取值范围为.