2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(陕西卷详解).docx

2022·陕西卷(文科数学)
1．[2022·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，那么M∩N＝(　　)
A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)
1．D[解析]由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．
2．[2022·陕西卷] 函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)
A.B．πC．2πD．4π
2．B[解析]T＝＝π.
3．[2022·陕西卷] 复数z＝2－i，那么z·的值为(　　)
A．5B.C．3D.
3．A[解析]∵z＝2－i，∴＝2＋i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.
4．[2022·陕西卷] 根据图1­1所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(　　)
图1­1
A．an＝2nB．an＝2(n－1)
C．an＝2nD．an＝2n－1
4．C[解析]阅读题中所给的程序框图可知输出的数列为2，22＝22，222＝23，223＝24，…，22N－1＝2N，故其通项公式为an＝2n.
5．[2022·陕西卷]将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4πB．3πC．2πD．π
5．C[解析]由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π11＝2π.
6．[2022·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)
A.B.C.D.
6．B[解析]由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的
距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P＝＝.
7．[2022·陕西卷] 以下函数中，满足“f(x＋y)＝
f(x)f(y)〞的单调递增函数是(　　)
A．f(x)＝x3B．f(x)＝3x
C．f(x)＝xD．f(x)＝
7．B[解析]由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝为单调递减函数，所以排除选项D.
8．[2022·陕西卷] 原命题为“假设＜an，n∈N＋，那么{an}为递减数列〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是(　　)
A．真，真，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
8．A[解析] 由<an，得an＋1<an，所以数列{an}为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．
9．[2022·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，那么这10位员工下月工资的均值和方差分别为(　　)
A.，s2＋1002B.＋100，s2＋1002
C.，s2D.＋100，s2
9．D[解析]由题目中所给的数据可知x，
不妨设这10位员工下月工资的均值为，那么＝＝＋100，易知方差没发生变化．
10．[2022·陕西卷] 如图1­2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．环湖弯曲路段为某三次函数图像的一局部，那么该函数的解析式为(　　)
图1­2
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
10．A[解析]由题意可知，该三次函数的图像过原点，那么其常数项为0，不妨设其解析式为y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，那么f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.又y＝ax3＋bx2＋cx过点(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝，b＝－，c＝－1，∴y＝f(x)＝x3－x2－x.
11．[2022·陕西卷] 抛物线y2＝4x的准线方程为________．
11．x＝－1[解析]易知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－＝－1.
12．[2022·陕西卷] 4a＝2，lgx＝a，那么x＝________．
12.[解析]4a＝2，即22a＝2，可得a＝，所以lgx＝，所以x＝10＝.
13．[2022·陕西卷] 设0＜θ ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，假设a·b＝0，那么tanθ＝______.
13.[解析] 由a·b＝0，得sin2θ＝cos2θ.又0<θ<，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，那么tanθ＝.
14．[2022·陕西卷] f(x)＝，x≥0，假设f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，那么f2022(x)的表达式为________．
14.[解析]由题意，得f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝＝，f3(x)＝，…，
由此归纳推理可得f2022(x)＝.
15．[2022·陕西卷] A.(不等式选做题)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，那么的最小值为________．
B.(几何证明选做题)如图1­3所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，假设AC＝2AE，那么EF＝________．
图1­3
C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．
15．A.B．3　C．1[解析]A．由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，当且仅当an＝bm时，等号成立，所以≥.
B．由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽△ACB，所以＝.又AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3.
C．易知点的直角坐标为(，1)，直线ρsin＝1的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由点到直线距离公式，得d＝＝1.
16．、、[2022·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)假设a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)假设a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．
16．解： (1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)由题设有b2＝ac，c＝2a，
∴b＝a.
由余弦定理得cosB＝＝＝.
17．、[2022·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
图1­4
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形．
17．解：(1)由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝221＝.
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
18．[2022·陕西卷]在直角坐标系xOy中，点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)假设m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
18．解： (1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，
∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，
∴||＝＝2.
(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
19．[2022·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)假设每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
19．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元〞，B表示事件“赔付金额为4000元〞，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为
P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元〞，由，得样本车辆中车主为新司机的有0.11000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.
20．、[2022·陕西卷] 椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)假设直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
图1­5
20．解： (1)由题设知解得
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝.
由d<1，得|m|<，(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，
∴|AB|＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或
y＝－x－.
21．、、[2022·陕西卷] 设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)假设对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，那么f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
那么φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如下列图)，可知
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0<m<时，函数g(x)有两个零点．
(3)对任意的b>a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b<f(a)－a恒成立．(*)
设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x>0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.