2023版高考数学一轮复习核心素养测评三十一基本不等式理北师大版.doc

核心素养测评三十一 根本不等式
(25分钟　50分)
一、选择题(每题5分,共35分)
1.假设a,b∈R,且ab>0,那么以下不等式中,恒成立的是 (　　)
A.a+b≥2　 B.+>
C.+≥2　 D.a2+b2>2ab
【解析】选C.因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.
2.(2023·宿州模拟)函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,那么2a+3b等于 (　　)
A.9　 B.7　 C.5　　 D.3
【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,
所以y=x-4+=x+1+-5≥
2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,
所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.
3.假设log2x+log2y=1,那么2x+y的最小值为 (　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,
所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.
4.(2023·温州模拟)假设ab>0,那么的最小值为(　　)
A.2 B. C.3 D.2
【解析】选A.因为ab>0,所以=+
≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.
5.假设a,b都是正数,且a+b=1,那么(a+1)(b+1)的最大值为 (　　)
A.　 B.2　 C.　 D.4
【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.
6.(2023·泉州模拟)a>0,b>0,4a+b=2,那么+的最小值是 (　　)
A.4　　 B.　　 C.5　　　 D.9
【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,
所以+=(4a+b)=
≥=,
当且仅当=,即a=,b=时取等号.
7.正数a,b满足+=1,假设不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,那么实数m的取值范围是 (　　)
A.[3,+∞)　 B.(-∞,3]
C.(-∞,6]　 D.[6,+∞)
【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,
所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即a=4,b=12时,等号成立.由题意,得16≥-x2+4x+18-m,
即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,
令f(x)=x2-4x-2,
那么f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,
所以f(x)的最小值为-6,
所以-6≥-m,即m≥6.
二、填空题(每题5分,共15分)
8.某公司购置一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),那么当每台机器运转________________年时,年平均利润最大,最大值是________________万元. 
【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.
答案:5　8
9.x,y为正实数,那么+的最小值为________________. 
【解析】因为x,y为正实数,那么+
=++1=++1,
令t=,那么t>0,所以+=+t+1=+t++≥2+=,当且仅当t=时取等号.
所以+的最小值为.
答案:
10.(2023·阳泉模拟)函数y=(x<1)的最大值为________________.  
【解析】函数y==
=x+1+=(x-1)++2 (x<1),
因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,
所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.
故函数y=的最大值为0.
答案:0
(15分钟　25分)
1.(5分)设a>0,b>0,那么以下不等式中不成立的是 (　　)
A.a+b+≥2
B.≥
C.≥a+b
D.(a+b)≥4
【解析】选B.因为a>0,b>0,
所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;
因为a+b≥2>0,所以≤,
当且仅当a=b时取等号,
所以≥不一定成立,故B不成立,
因为≤=,当且仅当a=b时取等号,
=
=a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,
所以≥,所以≥a+b,
故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,
当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.
2.(5分)当0<m<时,假设+≥k2-2k恒成立,那么实数k的取值范围为(　　)
A.[-2,0)∪(0,4]　 B.[-4,0)∪(0,2]
C.[-4,2]　 D.[-2,4]
【解析】选D.因为0<m<,所以×2m×(1-2m)≤×=,当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号,所以+=≥8,又+≥k2-2k恒成立,所以k2-2k-8≤0,所以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2,4].
3.(5分)以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆〞,那么曲线C的所有“望圆〞中半径最小值为 (　　)
A.4　　 B.　 C.8　　 D.2
【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆〞的半径为r,假设“望圆〞与曲线C有公共点,那么r2=(t+1)2+=t2++2+2≥2+2×2+2=8,当且仅当t=时,等号成立,那么r的最小值为2.
4.(5分)(2023·赣州模拟)正数x,y满足x+y=5,那么+的最小值为________________.  
【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,
那么+=[(x+1)+(y+2)]
=≥
=,
当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.
答案:
5.(5分)(2023·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为c,那么ab的最小值为________________. 
【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,
可得cos C=- ,所以sin C=.
由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=,
代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,
因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,
所以ab的最小值为48.
答案:48