2023版高考数学一轮复习第六章不等式6.2基本不等式练习理北师大版.doc
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1、6.2 基本不等式核心考点精准研析考点一利用基本不等式求最值命题精解读1.考什么:(1)考查求最值,证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.怎么考:求式子的最值,证明不等式、与函数结合考查求函数的值域,与解析几何结合求面积等几何量的最值.3.新趋势:与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法:拼凑成积或和为定值,利用基本不等式求相应的最值.(2)构造法:通过对已知条件的变形,构造定值,代入后利用基本不等式求值.(3)消元法:当要求最值的式子中含有多个字母时,应考虑利用已知条件减少字母的个数,以达到利用基本不等式求最值的目的.2.交汇问题: 与
2、方程、不等式交汇时,涉及恒成立问题、参数的范围等.通过拼凑定值求最值【典例】1.已知a,b0,则+的最小值为.【解析】因为a,b0,方法一:原式=+1+-1=+-12-1=4-1=3,当且仅当=,a=b时取等号.方法二:所以+=+1+-12-1=3,当且仅当+1=,即a=b时取等号.答案:32.若x,则f(x)=4x-2+的最大值为.【解析】因为x0,则f(x)=4x-2+=-+3-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.答案:1本例不能直接运用基本不等式时怎么办?提示:通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形,再观察拼凑定值
3、利用基本不等式求最小值.通过常值代换求最值【典例】(2019深圳模拟)已知a1,b0,a+b=2,则+的最小值为 ()A.+B.+C.3+2D.+【解析】选A.已知a1,b0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-10,则+=(a-1)+b=1+2=+;当且仅当=,a+b=2时取等号.则+的最小值为+.将条件进行变形目的是什么?提示:将已知条件变形,变形的方向是要证明的式子,特别是与式子分母相关的定值,将定值变为1后相乘,再利用基本不等式求最值.通过消元求最值【典例】(2020武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为 ()A.B.C.D.【解析】选B.因为正数x,y满足x+
4、4y-xy=0,所以y=0,解得x4,所以=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.将其中一个字母利用另一个字母表示,代入后的变形方向如何?提示:构造定值以利用基本不等式求最值.构造二次不等式求最值【典例】(2019重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为.【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=2ab,所以(2a+b)2+8(2a+b)-480,所以2a+b4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4本题利用基本不等式,将已知式子进行转换的目标是什么?提示:转化成关于2a+b
5、的二次不等式,通过解不等式求最值.1.设x,yR,且xy0,则的最小值为()A.-9B.9C.10D.02.(2020厦门模拟)已知0x0,b0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为()A.5+2B.8C.5D.94.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12【解析】1.选B.=5+x2y25+2=9,当且仅当xy=时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选D.因为0x0,所以+=(x+1-x)=5+5+2=9,当且仅当=,即x=时取等号,所以+取得最小值时x=.3.选A.因为a0,b0,且2a+b=ab-1,所以a=0,所以b2,所以a+2
6、b=+2b=2(b-2)+55+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.所以a+2b的最小值为5+2.4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+=+2=3.当且仅当=,即x=1时取等号.(2020马鞍山模拟)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-ccos B是acos B与bcos A的等差中项,则sin 2Atan 2C的最大值为.【解析】因为-ccos B是acos B与bcos A的等差中项,所以-2ccos B=acos B+bcos A,所以-2sin Ccos B=(sin Acos B+cos Asin B)=sin(A+B
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