2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案：3.2.1-直线的点斜式方程-Word版含解析.doc

3.2.1　直线的点斜式方程

知识导图

学法指导
1.明确直线的点斜式和斜截式方程的适用条件，注意斜率不存在的情形．
2．体会截距与距离的区别与联系．
3．体会待定系数法在求直线方程中的应用．
4．借助直线的点斜式和斜截式方程来研究直线之间的关系，如平行、垂直等．
高考导航
1.由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，分值5分．
2．由直线方程求斜率和截距或判断直线的位置关系也是常考题型，以选择题、填空题为主，分值5分.

知识点　直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示

名称
点斜式
斜截式
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用范围
斜率存在
2.直线l在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．

经过点P0 (x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：
①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；
②斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，或x＝x0.

1．斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．
2．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　)
(2)对于直线y＝2x＋3在y轴上截距为3.(　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2　B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
解析：∵α＝45°，∴k＝tanα＝1，由点斜式得y＋3＝x－2.
答案：A
3．[2019·合肥一中课时检测]已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则该直线的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
解析：直线的倾斜角为60°，则斜率为tan60°＝，利用斜截式直接写出方程，即y＝x－2.
答案：D
4．直线方程为y＋2＝2x－2，则(　　)
A．直线过点(2，－2)，斜率为2
B．直线过点(－2,2)，斜率为2
C．直线过点(1，－2)，斜率为
D．直线过点(1，－2)，斜率为2
解析：把直线方程写成点斜式方程：y－(－2)＝2·(x－1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2.
答案：D

类型一　直线的点斜式方程
例1　根据下列条件写出直线的方程：
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为135°；
(2)经过点B(1，－2)，且与y轴平行；
(3)经过点C(－1,2)，且与x轴平行．
【解析】　(1)因为倾斜角为135°，所以k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.
(2)因为直线与y轴平行，所以倾斜角为90°，所以直线的斜率不存在，所以直线方程为x＝1.
(3)因为直线与x轴平行，所以倾斜角为0°，所以y＝2.
用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式方程表示直线．

方法归纳
求直线的点斜式方程的步骤

[特别提醒]　斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.

跟踪训练1　求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解析：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，∴由直线的点斜式方程得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)．
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
当直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式求解．

类型二　直线的斜截式方程
例2　求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．
【解析】　(1)直线的斜率为k＝－4，在y轴上的截距b＝7，由直线的斜截式方程知，
所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率为k＝0，在y轴上的截距为b＝2，
由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为k＝－，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
结合截距的几何意义→明晰各题中直线的截距→结合斜率写出直线的斜截式方程

方法归纳
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

跟踪训练2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解析：(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan150°＝－.由斜截式方程可得y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝，
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
(1)直接利用斜截式写出方程；
(2)先求斜率，再用斜截式求方程；
(3)截距有两种情况，讨论求解．
类型三　直线方程的点斜式、斜截式的应用
例3　已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
【解析】　显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0得y＝2k＋3；令y＝0得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
＝4，即(2k＋3)＝±8，
若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．
若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解得k＝－或k＝－，
所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
首先确定直线的斜率是否存在，再得出直线的点斜式方程，最后利用面积求直线方程．

方法归纳
用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题．
跟踪训练3　已知斜率为2的直线l不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l的方程．
解析：依题意，设直线l的方程为y＝2x＋b，又直线l不过第四象限，∴b≥0.
对于直线l，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝－.
由已知，可得·|b|·＝4，即|b|2＝16，∴b＝4(负值舍去)．故直线l的方程为y＝2x＋4.
先设出直线的斜截式方程，再利用面积求截距.

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．通过点(2,0)的一切直线
B．通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线
C．通过点(－2,0)的一切直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的一切直线
解析：方程y＝k(x－2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率．故选B.
答案：B
2．斜率为－1，且在y轴上的截距为1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0　B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：直线的斜截式方程为y＝－x＋1，
即x＋y－1＝0.故选B.
答案：B
3．已知M，N，则过点M和N的直线方程为(　　)
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
解析：因为直线过M，N，
所以直线方程为y－＝(x－2)，即4x－2y＝5，故选B.
答案：B
4．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　)
A．9 B．－9
C. D．－
解析：由已知方程得y＝x－9，故直线l在y轴上的截距为－9.
答案：B
5．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为 －，则直线l的方程为________．
解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即y＝－x＋.
答案：y＝－x＋
7．已知直线l的倾斜角α满足3sinα＝cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．
解析：由3sinα＝cosα，得tanα＝，∴直线l的斜率为.
又直线l在x轴上的截距为2，∴直线l与x轴的交点为(2,0)，∴直线l的方程为y－0＝(x－2)，即y＝x－.
答案：y＝x－
8．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
解析：令x＝0得y＝(a－1)×2＋a＝6，得a＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为60°；
(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为60°；
(4)经过点D(－1,1)，与x轴平行．
解析：(1)直线斜率为tan60°＝，
所以直线方程为y－4＝(x＋1)．
(2)直线斜率不存在，直线垂直于x轴，
所以所求直线方程为x＝4.
(3)直线斜率为tan60°＝，
所以所求直线的方程为y＝x.
(4)直线斜率为0，所以直线方程为y＝1.
10．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：
(1)AB所在直线的方程；
(2)AC边所在直线的方程．

解析：根据已知条件，画出示意图如图所示．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，
由A，B两点的坐标知，
直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于45°，
所以kAC＝tan45°＝1，
又点A(1,1)，
所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，
即y＝x.

[能力提升](20分钟，40分)
11．已知k＋b＝0，k≠0，则直程y＝kx＋b的大致位置是(　　)

解析：方法一　因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x＝－＝1，所以直线与x轴的交点坐标为(1,0)．只有选项B中的图象符合要求．
方法二　由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k＋b>0，不符合要求；选项B中，k>0，b<0，符合要求；选项C中，b＝0，不符合要求；选项D中，k<0，b<0，k＋b<0，不符合要求．
答案：B
12．如果对任何实数k，直线(3＋k)x－2y＋1－k＝0都过一定点A，那么点A的坐标是________．
解析：直线方程变为k(x－1)＋3x－2y＋1＝0，
当x＝1时，3x－2y＋1＝0，y＝2，所以直线过定点A(1,2)．
答案：(1,2)
13．斜率为3的直线l与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
解析：设l的方程为y＝3x＋b，
令x＝0得y＝b，令y＝0得x＝－，
所以l与坐标轴围成的三角形的面积S＝，
即＝6，解得b＝±6，
所以直线l的方程为y＝3x＋6或y＝3x－6.
14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
解析：(1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即解得－≤k≤1.

所以实数k的取值范围是.