2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价八指数函数与对数函数的关系新人教B版必修2.doc

课时素养评价 八
　指数函数与对数函数的关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=的反函数是 (　　)
A.y=(x∈R且x≠-4)
B.y=(x∈R且x≠3)
C.y=(x∈R且x≠)
D.y=(x∈R且x≠-)
【解析】选B.由y=,得x=.
故所求反函数为y=(x∈R且x≠3).
2.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是 (　　)
A.[-1,1]　 　 B.(-∞,0]　
C.[-2,4]　 　 D.[2,4]
【解析】选A,C.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[-1,1], [-2,4]上不单调.
3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是 (　　)
A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3
【解析】选D.求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.
4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是 (　　)
A.a<b B.a=b
C.a>b D.无法确定
【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)> f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=的反函数是________. 
【解析】函数的值域为[0,+∞),令y=,
将其中的x,y对调得x=,
解得y=4-x2,
所以反函数f-1(x)=4-x2(x≥0).
答案:f-1(x)=4-x2(x≥0)
6.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1≤x≤0),则原函数的定义域是________,f(-1)=________. 
【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,
又-1≤x≤0,所以1≤2-x2≤2,
即y∈[-,-1].
令-=-1,解得x=±1,
因为原函数的定义域为[-,-1],
所以x=-1.
答案:[-,-1]　-1
【加练·固】
函数f(x)=log2x+1(x≥4)的反函数f-1(x)的定义域是________. 
【解析】函数f(x)的值域为[3,+∞),
所以f-1(x)的定义域是[3,+∞).
答案:[3,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.
(1)y=-1.
(2)y=-3x2-2(x≤0).
【解析】 (1)因为原函数的定义域是x≥1,
所以值域为y≥-1,
由y=-1,
得反函数y=(x+1)2+1(x≥-1).
函数y=-1与它的反函数y=(x+1)2+1的图像如图所示.

(2)由y=-3x2-2(x≤0)得值域y≤-2,
反函数y=-(x≤-2).
它们的图像如图所示.

8.(14分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)若f(x0)=2,求f(3x0).
(2)若f(x)的图像过点(2,4),记g(x)是f(x)的反函数,
求g(x)在区间上的值域.
【解析】(1)因为f(x0)==2,
所以f(3x0)==()3=23=8.
(2)因为f(x)的图像过点(2,4),
所以f(2)=4,即a2=4,解之得a=2(舍负) ,
因此,f(x)的解析式为y=2x,
因为g(x)是f(x)的反函数,所以g(x)=log2x,
因为g(x)在区间上是增函数,
g=log2=-1,g(2)=log22=1,
所以g(x)在区间上的值域为[-1,1].
(15分钟·30分)
1.(4分)若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是 (　　)

【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=lox,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=lox右移一个单位得到.
2.(4分)函数f(x)与g(x)=互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是
(　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-2,0] D.[0,2)
【解析】选D.因为f(x)与g(x)=互为反函数,
所以f(x)=lox,
所以f(4-x2)=lo(4-x2),x>0,
由4-x2>0,所以-2<x<2,所以0<x<2,
因为y=4-x2在[0,2)上是减函数,
所以f(x)在[0,2)上是增函数.
3.(4分)设点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=________.  
【解析】因为点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,所以loga(9-1)=3,可得a=2,
则令函数f(x)=y=log2(x-1),那么x=2y+1.
把x与y互换可得y=2x+1,
所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.
答案:2x+1
4.(4分)设a>0且a≠1,若函数f(x)=+2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是________.  
【解析】因为函数f(x)=+2经过定点(1,3),
所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).
答案:(3,1)
【加练·固】
若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=________. 
【解析】函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=log2(x+1)+a的图像经过点(1,4),
所以4=log2(1+1)+a,
所以4=1+a,a=3.
答案:3
5.(7分)已知函数f(x)=lg(x+1).

(1)当x∈[1,9]时,求函数f(x)的反函数.
(2)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围.
【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),
所以当x∈[1,9]时,y∈[lg2,1],
且x+1=10y,即x=10y-1,
互换x,y得,y=10x-1,
所以,f-1(x)=10x-1,x∈[lg2,1].
(2)不等式0<f(1-2x)-f(x)<1可化为:
0<lg<1,等价为1<<10且x+1>0,
解得x∈,
所以,原不等式中x的取值范围为:.
6.(7分)已知奇函数f(x)=的反函数f-1(x)的图像过点A(-3,1).
(1)求实数a,b的值.
(2)解关于x的不等式f-1(x)>-1.
【解析】(1)因为奇函数f(x)=的反函数f-1(x)过点A(-3,1),
所以
解得a=b=-1.
(2)由(1)知,f(x)=,
则f-1(x)=log2(x>1或x<-1),
解不等式f-1(x)=log2>-1⇒x>3或x<-1.

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=,那么f -1(-9)的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.3 D.-3
【解析】选A.设f -1(-9)=x,则f(x)=-9,
设x>0,则-x<0.
因为当x<0时,f(x)=,
所以f(-x)==3x.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-3x.所以-3x=-9,故x=2.
2.已知函数y=f(x)=中,a,b,c,d均不为零,试求a,b,c,d满足什么条件时,它的反函数仍是自身.
【解析】f(x)=+,
因为常数函数没有反函数,
所以bc-ad≠0,又f-1(x)=,
要使=,
对定义域内一切x值恒成立,
令x=0,得-a=d,即a+d=0.
当a+d=0时,必有f-1(x)=f(x),
因此所求的条件是bc-ad≠0,且a+d=0.

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