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2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．〔3分〕﹣2的倒数是〔　　〕
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．〔3分〕随着经济开展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2022年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．1.2×109 B．12×107 C．0.12×109 D．1.2×108
3．〔3分〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔3分〕含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如下列图，l1∥l2，∠ACD=∠A，那么∠1=〔　　〕
A．70° B．60° C．40° D．30°
5．〔3分〕以下说法正确的选项是〔　　〕
A．翻开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
6．〔3分〕假设a2﹣ab=0〔b≠0〕，那么=〔　　〕
A．0 B． C．0或 D．1或 2
7．〔3分〕如图是“明清影视城〞的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是〔　　〕
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
8．〔3分〕x+=3，那么以下三个等式：①x2+=7，②x﹣，③2x2﹣6x=﹣2中，正确的个数有〔　　〕
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．〔3分〕二次函数y=x2﹣2mx〔m为常数〕，当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，那么m的值是〔　　〕
A． B． C．或 D．或
10．〔3分〕如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为〔6，4〕，反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，那么k的值是〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
11．〔3分〕3﹣2=．
12．〔3分〕二元一次方程组==x+2的解是．
13．〔3分〕如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．假设OB=3，OD=2，那么阴影局部的面积之和为．
14．〔3分〕点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．
15．〔3分〕庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭〞．这句话〔文字语言〕表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式〔符号语言〕：1=+++…++…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，那么可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是．
16．〔3分〕对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1〔m、n为常数〕．
例如y=x4+x2，那么y'=4x3+2x．
：y=x3+〔m﹣1〕x2+m2x．
〔1〕假设方程y′=0有两个相等实数根，那么m的值为；
〔2〕假设方程y′=m﹣有两个正数根，那么m的取值范围为．
三、本大题共3小题，每题9分，共27分.
17．〔9分〕计算：2sni60°+|1﹣|+20220﹣．
18．〔9分〕求不等式组的所有整数解．
19．〔9分〕如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
四、本大题共3小题，每题10分，共30分．
20．〔10分〕化简：〔﹣〕÷．
21．〔10分〕为了了解我市中学生参加“科普知识〞竞赛成绩的情况，随机抽查了局部参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如下列图．请根据图表信息解答以下问题：
组别
分数段〔分〕
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
90
n
C组
80≤x＜90
m
0.4
D组
90≤x＜100
60
0.2
〔1〕在表中：m=，n=；
〔2〕补全频数分布直方图；
〔3〕小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在组；
〔4〕4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少并列表或画树状图说明．
22．〔10分〕如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．假设房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
五、本大题共2小题，每题10分，共20分.
23．〔10分〕某公司从2022年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的本钱不断降低，具体数据如下表：
年 度
2022
2022
2022
2022
投入技改资金x〔万元〕
2.5
3
4
4.5
产品本钱y〔万元/件〕
7.2
6
4.5
4
〔1〕请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
〔2〕按照这种变化规律，假设2022年已投入资金5万元．
①预计生产本钱每件比2022年降低多少万元
②假设打算在2022年把每件产品本钱降低到3.2万元，那么还需要投入技改资金多少万元〔结果精确到0.01万元〕．
24．〔10分〕如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
〔1〕试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
〔2〕假设点C是弧AB的中点，AB=4，求CE•CP的值．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．〔12分〕在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
〔1〕如图1，假设∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
〔2〕如图2，假设将〔1〕中的条件“∠B=90°〞去掉，〔1〕中的结论是否成立请说明理由．
〔3〕如图3，假设∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
26．〔13分〕如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设OC⊥AC，求△OAC的面积；
〔3〕抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在〔2〕的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值假设存在，求出面积的最大值和点E的坐标；假设不存在，请说明理由．
2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．〔3分〕〔2022•乐山〕﹣2的倒数是〔　　〕
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵〔﹣2〕×〔﹣〕=1，
∴﹣2的倒数是﹣．
应选A．
【点评】此题考查了倒数的定义，是根底题，熟记概念是解题的关键．
2．〔3分〕〔2022•乐山〕随着经济开展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2022年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．1.2×109 B．12×107 C．0.12×109 D．1.2×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：120 000 000=1.2×108．
应选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．〔3分〕〔2022•乐山〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
应选D．
【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
4．〔3分〕〔2022•乐山〕含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如下列图，l1∥l2，∠ACD=∠A，那么∠1=〔　　〕
A．70° B．60° C．40° D．30°
【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数．
【解答】解：∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CDB=60°，
应选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．〔3分〕〔2022•乐山〕以下说法正确的选项是〔　　〕
A．翻开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、翻开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；
B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；
C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；
应选：C．
【点评】此题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、方差，掌握随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质是解题的关键．
6．〔3分〕〔2022•乐山〕假设a2﹣ab=0〔b≠0〕，那么=〔　　〕
A．0 B． C．0或 D．1或 2
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab=0〔b≠0〕，
∴a=0或a=b，
当a=0时，=0．
当a=b时，=，
应选C．
【点评】此题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
7．〔3分〕〔2022•乐山〕如图是“明清影视城〞的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是〔　　〕
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+〔R﹣0.25〕2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5〔米〕．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
应选：B．
【点评】此题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．
8．〔3分〕〔2022•乐山〕x+=3，那么以下三个等式：①x2+=7，②x﹣，③2x2﹣6x=﹣2中，正确的个数有〔　　〕
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】将x+=3两边同时平方，然后通过恒等变形可对①作出判断，由x﹣=±可对②作出判断，方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x，然后再通过恒等变形可对③作出判断．
【解答】解：∵x+=3，
∴〔x+〕2=9，整理得：x2+=7，故①正确．
x﹣=±=±，故②错误．
方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x得：x﹣3=﹣，整理得：x+=3，故③正确．
应选：C．
【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9．〔3分〕〔2022•乐山〕二次函数y=x2﹣2mx〔m为常数〕，当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，那么m的值是〔　　〕
A． B． C．或 D．或
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y=x2﹣2mx=〔x﹣m〕2﹣m2，
①假设m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣；
②假设m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m=＜2〔舍〕；
③假设﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=或m=﹣＜﹣1〔舍〕，
∴m的值为﹣或，
应选：D．
【点评】此题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
10．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为〔6，4〕，反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，那么k的值是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D〔6，1〕，E〔，4〕，根据勾股定理得到ED==，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，根据轴对称的性质得到BF=B′F，BB′⊥ED求得BB′=，设EG=x，那么BG=﹣x根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为〔6，4〕，
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y=的图象上，
∴D〔6，1〕，E〔，4〕，
∴BE=6﹣=，BD=4﹣1=3，
∴ED==，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF•ED=BE•BD，
即BF=3×，
∴BF=，
∴BB′=，
设EG=x，那么BG=﹣x，
∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2，
∴〔〕2﹣〔﹣x〕2=〔〕2﹣x2，
∴x=，
∴EG=，
∴CG=，
∴B′G=，
∴B′〔，﹣〕，
∴k=﹣．
应选B．
【点评】此题考查了翻折变换〔折叠问题〕，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
11．〔3分〕〔2022•乐山〕3﹣2=．
【分析】根据幂的负整数指数运算法那么计算．
【解答】解：原式==．
故答案为：．
【点评】此题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
12．〔3分〕〔2022•乐山〕二元一次方程组==x+2的解是．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：原方程可化为：，
化简为，
解得：．
故答案为：；
【点评】此题考查二元一次方程的解法，解题的关键是将原方程化为方程组，此题属于根底题型．
13．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．假设OB=3，OD=2，那么阴影局部的面积之和为　6　．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影局部的面积之和为3×2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
14．〔3分〕〔2022•乐山〕点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．
【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，
∴×h=，
∴h=．
故答案为：．
【点评】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．〔3分〕〔2022•乐山〕庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭〞．这句话〔文字语言〕表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式〔符号语言〕：1=+++…++…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，那么可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　2=．
【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，求得S△ACC1=；进而得到=×，=×〔〕2，=×〔〕3，根据规律可知=×〔〕n﹣1，再根据S△ABC=AC×BC=×2×2=2，即可得到等式．
【解答】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，
∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，
∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，
∴S△ACC1=•AC1•CC1=×1×=；
∵C1C2⊥BC，
∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，
∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，
∴=•CC2•C1C2=××=×，
同理可得，
=×〔〕2，
=×〔〕3，
…
∴=×〔〕n﹣1，
又∵S△ABC=AC×BC=×2×2=2，
∴2=+×+×〔〕2+×〔〕3+…+×〔〕n﹣1+…
∴2=．
故答案为：2=．
【点评】此题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．〔3分〕〔2022•乐山〕对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1〔m、n为常数〕．
例如y=x4+x2，那么y'=4x3+2x．
：y=x3+〔m﹣1〕x2+m2x．
〔1〕假设方程y′=0有两个相等实数根，那么m的值为；
〔2〕假设方程y′=m﹣有两个正数根，那么m的取值范围为且．
【分析】根据新定义得到y′=x3+〔m﹣1〕x2+m2=x2+2〔m﹣1〕x+m2，
〔1〕由判别式等于0，解方程即可；
〔2〕根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得y′=x2+2〔m﹣1〕x+m2，
〔1〕∵方程x2﹣2〔m﹣1〕x+m2=0有两个相等实数根，
∴△=[﹣2〔m﹣1〕]2﹣4m2=0，
解得：m=，
故答案为：；
〔2〕y′=m﹣，即x2+2〔m﹣1〕x+m2=m﹣，
化简得：x2+2〔m﹣1〕x+m2﹣m+=0，
∵方程有两个正数根，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．
三、本大题共3小题，每题9分，共27分.
17．〔9分〕〔2022•乐山〕计算：2sni60°+|1﹣|+20220﹣．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：2sni60°+|1﹣|+20220﹣
=2×+﹣1+1﹣3
=﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．〔9分〕〔2022•乐山〕求不等式组的所有整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
所以，不等式组的解集为1＜x≤4，
故不等式组的整数解为2，3，4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．〔9分〕〔2022•乐山〕如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、本大题共3小题，每题10分，共30分．
20．〔10分〕〔2022•乐山〕化简：〔﹣〕÷．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答此题．
【解答】解：〔﹣〕÷
=
=
=
=
=．
【点评】此题考查分式的混合运算，解答此题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
21．〔10分〕〔2022•乐山〕为了了解我市中学生参加“科普知识〞竞赛成绩的情况，随机抽查了局部参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如下列图．请根据图表信息解答以下问题：
组别
分数段〔分〕
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
90
n
C组
80≤x＜90
m
0.4
D组
90≤x＜100
60
0.2
〔1〕在表中：m=　120　，n=　0.3　；
〔2〕补全频数分布直方图；
〔3〕小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　C　组；
〔4〕4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少并列表或画树状图说明．
【分析】〔1〕先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；
〔2〕根据〔1〕中所求结果即可补全频数分布直方图；
〔3〕根据中位数的定义即可求解；
〔4〕画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：〔1〕∵本次调查的总人数为30÷0.1=300〔人〕，
∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，
故答案为：120，0.3；
〔2〕补全频数分布直方图如下：
〔3〕由于共有300个数据，那么其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为：C；
〔4〕画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，
∴抽中A﹑C两组同学的概率为=．
【点评】此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
22．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．假设房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
【解答】解：如图3，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=6m，
∴〔m〕；
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴〔m〕；
在Rt△DEA中，∠EAD=60°，，
答：树DE的高为米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
五、本大题共2小题，每题10分，共20分.
23．〔10分〕〔2022•乐山〕某公司从2022年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的本钱不断降低，具体数据如下表：
年 度
2022
2022
2022
2022
投入技改资金x〔万元〕
2.5
3
4
4.5
产品本钱y〔万元/件〕
7.2
6
4.5
4
〔1〕请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
〔2〕按照这种变化规律，假设2022年已投入资金5万元．
①预计生产本钱每件比2022年降低多少万元
②假设打算在2022年把每件产品本钱降低到3.2万元，那么还需要投入技改资金多少万元〔结果精确到0.01万元〕．
【分析】〔1〕根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
〔2〕①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
【解答】解：〔1〕设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，
∴，
解得k=﹣2.4，b=13.2
∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为y=．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，
解得k=18
∴反比例函数是y=．
验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数y=表示其变化规律．
〔2〕①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4〔万元〕，
∴生产本钱每件比2022年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，
∴x=5.625，
∴5.625﹣5=1.125≈0.63〔万元〕
∴还约需投入0.63万元．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．
24．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
〔1〕试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
〔2〕假设点C是弧AB的中点，AB=4，求CE•CP的值．
【分析】〔1〕连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
〔2〕连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
【解答】解：〔1〕如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=30°，
∵PA=PD，
∴∠PAO=∠D=30°，
∴∠OPD=90°，
∴PD是⊙O的切线．
〔2〕连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，
∵AB=4，．
∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴，
∴CP•CE=CA2=〔2〕2=8．
【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．〔12分〕〔2022•乐山〕在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
〔1〕如图1，假设∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
〔2〕如图2，假设将〔1〕中的条件“∠B=90°〞去掉，〔1〕中的结论是否成立请说明理由．
〔3〕如图3，假设∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【分析】〔1〕结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；
〔2〕〔1〕中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
〔3〕结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【解答】解：〔1〕AC=AD+AB．
理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴，同理．
∴AC=AD+AB．
〔2〕〔1〕中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AD+AB．
〔3〕结论：．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，
∴，
∴．
【点评】此题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．〔13分〕〔2022•乐山〕如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设OC⊥AC，求△OAC的面积；
〔3〕抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在〔2〕的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值假设存在，求出面积的最大值和点E的坐标；假设不存在，请说明理由．
【分析】〔1〕由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
〔2〕由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
〔3〕①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，那么可求得P点坐标；
②设出E点坐标，那么可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，那么可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，那么可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
【解答】解：
〔1〕在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，
∴B〔﹣a，0〕，
在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，
∴A〔0，b〕，
∵B为OA的中点，
∴b=﹣2a，
∴；
〔2〕联立两抛物线解析式可得，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x1=0，，
当时，，
∴，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴，
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴，
∴CD2=AD•OD，即，
∴a1=0〔舍去〕，〔舍去〕，，
∴，，
∴；
〔3〕①抛物线，
∴其对称轴，
点A关于l2的对称点为O〔0，0〕，，
那么P为直线OC与l2的交点，
设OC的解析式为y=kx，
∴，得，
∴OC的解析式为，
当时，，
∴；
②设，
那么，
而，，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由，解得，
∴直线BC的解析式为，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
那么，即x=，
∴EN=，
∴
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC==，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在〔1〕中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在〔2〕中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在〔3〕①中确定出P点的位置是解题的关键，在〔3〕②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．