2022届高三4月模拟考试理科数学试卷-答案.docx

广东省惠州市2017届4月模拟考试理科数学试卷
答 案
一、 选择题
1~5．CBDBA 6~10．BCCBD 11~12．AD
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知得．．．．．．．．．．．．．．．．2分
即所以解得．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①
，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
得：
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由题意，可知，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴甲、乙两校的合格率均为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）样本中甲校C等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
而乙校C等级的学生人数为4．
∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴，
∴的分布列为
X
0
1
2
3
P

．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为平面PAD，平面，所以．
又因为，所以平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
因为点E是PB中点，所以，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又因为，且，所以，且，
所以四边形EFDC为平行四边形，所以，
所以平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则，
因为平面PAD，平面PAD，
所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
因为，由（Ⅰ）知，，
又因为，所以，
所以
所以为正三角形，所以，
因为平面PAD，平面PAD，
所以．
又因为，所以平面ABCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
故OA，OG，OP两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，，
所以，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
设平面PDC的法向量，
则 所以
取，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设EC与平面PDC所成的角为，
则，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
因为，所以，
所以与平面所成角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点A在圆上，∴
又∵椭圆的一个焦点为，∴∴
∴椭圆C的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）设，，则直线与椭圆C方程联立
化简并整理得，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
由题设知∴直线的方程为
令得
∴点．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

（当且仅当即时等号成立）．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
∴的面积存在最大值，最大值为1．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由已知得，故，解得
又，得，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
，所以
当时，；当时，
所以的单调区间递增区间为，递减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）法一．由已知，及整理得
，当时恒成立
令，．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，，；由（Ⅰ）知在上为增函数，
又，
所以存在使得，此时
当时，；当时，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
故整数的最大值为2．
法二．由已知，及整理得，
令，
得，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，因为，所以，在上为减函数，

当时，，，为增函数．，
为减函数．∴
由已知．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令，，在上为增函数．
又，，故整数的最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）曲线C：，可以化为，
，
因此，曲线C的直角坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
它表示以为圆心、为半径的圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为(t为参数)
点在直线上，且在圆C内，把
代入中得．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设两个实数根为，，则A，B两点所对应的参数为，，
则，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为
即圆心C的坐标为半径为，点在直线：上，且在圆C内
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
圆心C到直线的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以弦的长满足
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由知，
欲使，恒有成立，则需满足．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由题意得．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
，使得成立
即有∴．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又可等价转化为或或
所以实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

广东省惠州市2017届4月模拟考试理科数学试卷
解 析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C．
B．
D．
B．
A．
B．
C．
C．
B．
D．
A．
D．
1．【解析】 ，，故选C．．
2．【解析】，所以=2 ，故选B．．
3．【解析】程序框图表示，所以，解得：，，解集为空，所以，故选D．．
4【解析】，故．
5【解析】函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A．的函数为奇函数，不符合要求；选项B．的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D．的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A．符合要求，故应选A．．
6．【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B．，高为4，根据垂直关系可得，，为直角三角形和和的公共斜边，所以取中点，为四棱锥外接圆的圆心，，，那么四棱锥外接球的表面积为，故选B．．
7．【解析】，含有项的构成为，故选C．．
8．【解析】作出不等式组对应的平面区域，由解得，设，由图可知，直线经过点A．时，m取最小值，同时取得最小值，所以． 故选C．．
9．【解析】， 平移得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B．．
10．【解析】设，则，又，，选D．．
11．【解析】过作，则，故当最小时最大．此时
12．【解析】，在上取点，在上取点，要，需，，，，，故选D．．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
13．【解析】因为，所以为的中点即，∵，
∴，∴．
14．【解析】因为，所以，所以，所以＝＝
15．【解析】类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为，
所以图1的面积为．
16．【解析】因为线段的延长线上存在点，使，，
所以，即，所以，
所以，
中，根据正弦定理．
17．略
18．略
19．略
20．略
21．略
22．略
23．略

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