2022-2022学年高中数学人教A版必修一学案:3.1.1-方程的根与函数的零点-Word版含解析.doc
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3.1.1 方程的根与函数的零点 课标要点 课标要点 学考要求 高考要求 1.函数零点的概念 a b 2.f(x)=0有实根与y=f(x)有零点的关系 b c 3.函数零点的判定 b c 知识导图 学法指导 1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根,并明白与相应二次函数图象间的关系. 2.熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质,能根据图象判断零点的情况. 知识点一 函数的零点 1.零点的定义 对于函数y=f(x),把f(x)=0的实数x,叫做函数y=f(x)的零点. 函数的零点不是一个点,而是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. 2.方程的根与函数零点的关系 知识点二 函数零点的判定 函数零点的存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点.( ) (2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0)(x2,0).( ) (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.函数y=3x-2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.; B.; C.-;- D.;- 解析:令3x-2=0,则x=,∴函数y=3x-2的图象与x轴的交点坐标为,函数零点为. 答案:B 3.函数f(x)=ln (x+1)-的零点所在的一个区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:f(1)=ln 2-2<0, f(2)=ln 3-1>0, ∴f(1)·f(2)<0, ∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2). 答案:B 4.函数f(x)=x3-x的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:f(x)=x(x-1)(x+1),令x(x-1)(x+1)=0,解得x=0,x=1,x=-1,即函数的零点为-1,0,1,共3个. 答案:D 类型一 函数零点的概念及求法 例1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( ) (2)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. ①f(x)=-x2-4x-4; ②f(x)=4x+5; ③f(x)=log3(x+1). 【解析】 (1)由图观察,A中图象与x轴没有交点,所以A中函数没有零点. (2)①令-x2-4x-4=0,解得x=-2,所以函数的零点为x=-2.②令4x+5=0,则4x=-5<0,即方程4x+5=0无实数根,所以函数不存在零点.③令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数的零点为x=0. 【答案】 (1)A (2)见解析 (1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点. (2)求函数对应方程的根即为函数的零点. 方法归纳 函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:其一是令f(x)=0,根据解方程f(x)=0的根求得函数的零点;其二是画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1 若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点. 解析:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6.所以f(x)=x2+x-6. 解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.所以函数f(x)其余的零点是2. 由函数f(x)的零点是-3,得f(-3)=0,求a. 类型二 确定函数零点的个数 例2 (1)函数f(x)=x--2的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. 【解析】 (1)令f(x)=0得x--2=0,设t=(t≥0),则t2-t-2=0,解得t=2或t=-1(舍). 故=2即x=4,因此方程f(x)=0有一个根4,所以函数f(x)有一个零点. (2)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=-x+3,在同一平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示:由图可知函数y=ln x,y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点. 【答案】 (1)B (2)见解析 思路一:解方程求零点,方程f(x)=0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数; 思路二:画出函数图象,依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数. 方法归纳 判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数. (2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. (3)定理法:函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点. 跟踪训练2 f(x)=的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:方法一 方程x+2=0(x<0)的根为x=-2,方程x2-1=0(x>0)的根为x=1,所以函数f(x)有2个零点-2与1. 方法二 画出函数f(x)=的图象,如图所示,观察图象可知,f(x)的图象与x轴有2个交点,所以函数f(x)有2个零点. 答案:C 解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”,即根据分段函数中自变量的取值范围,代入相应的解析式求解零点,注意自变量的取值范围. 类型三 判断函数的零点所在的大致区间 例3 设x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则x0所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】 因为f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>ln e-1=0,f(2)·f(3)<0.由零点存在性定理,得x0所在的区间为(2,3). 【答案】 C 根据零点存在性定理,对照选项,只需验证区间端点函数值的符号,或可借助于图象分析. 方法归纳 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点. 跟踪训练3 函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:f(2)=22-1+2-5<0,f(3)=23-1+3-5>0,故f(2)·f(3)<0,又f(x)在定义域内是增函数,则函数f(x)=2x-1+x-5只有一个零点,且零点所在的区间为(2,3). 答案:C 利用f(a)·f(b)<0求零点区间. [基础巩固](25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列函数不存在零点的是( ) A.y=x- B.y= C.y= D.y= 解析:令y=0,得A中函数的零点为1,-1;B中函数的零点为-,1;C中函数的零点为1,-1;只有D中函数无零点. 答案:D 2.函数f(x)=的零点有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:由f(x)==0,得x=1, ∴f(x)=只有一个零点. 答案:B 3.函数f(x)=的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:当x≤0时,由f(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(舍去); 当x>0时,由f(x)=-2+ln x=0得x=e2. 所以函数的零点个数为2. 答案:B 4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) A.0,2 B.0, C.0,- D.2,- 解析:∵2a+b=0, ∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). ∴零点为0和-. 答案:C 5.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为( ) A. B. C. D. 解析:因为f=+log2<0, f=+log2>0, 所以f·f<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为. 答案:A 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 解析:方法一 ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0, 又 f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的, 故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点. 方法二 令f(x)=0,得x2-3x-18=0, ∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点. 答案:存在 7.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________. 解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2、3, ∴即a=5,b=-6, ∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-、-,即为函数g(x)的零点. 答案:-,- 8.已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的取值范围为________. 解析:由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2+a)<0. ∴-2<a<0. 答案:(-2,0) 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x. 解析:(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3. (2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无解,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3. 10.已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点. 解析:由题可知,f(x)=x2+3(m+1)x+n的两个零点为1和2. 则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的两根. 可得 解得 所以函数y=logn(mx+1)的解析式为 y=log2(-2x+1),要求其零点,令 log2(-2x+1)=0,解得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0. [能力提升](20分钟,40分) 11.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( ) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞) 解析:因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根,又由f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根. 答案:A 12.函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数是________. 解析:方法一 函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数. 在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图). 由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点. 方法二 因为f(1)=-2,f(2)=ln 2+1>0. 所以f(1)·f(2)<0, 又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的, 所以f(x)在(1,2)上必有零点, 又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个. 答案:1 13.函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2, 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点, 所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,观察图象可知, 0<a-1<1,所以1<a<2. 即a的取值范围为(1,2). 14.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围. (1)零点均大于1; (2)一个零点大于1,一个零点小于1; (3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内. 解析:(1)因为方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<. 即a的取值范围为. (2)因为方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)=5-2a<0,解得a>. 即a的取值范围为. (3)因为方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得 <a<. 即a的取值范围为.- 配套讲稿:
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