2022年高考江苏卷数学含答案.docx
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1、2022年普通高考学校招生全国统一考试江苏卷 数学 I𝑛𝑛参考公式:(1)样本数据𝑥1,𝑥2,𝑥𝑛的方差𝑠2=1𝑛(𝑥𝑖𝑥)2,其中𝑥=1𝑛𝑥𝑖𝑖=1(2) 直棱柱的侧面积𝑆=𝑐,其中𝑐为底面周长,为高(3) 棱柱的体积 𝑉= 𝑆,其中 𝑆为底面积
2、, 为高𝑖=1一. 填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分, 共 70 分请把答案填写在答 题 卡 相 应 位 置 上 1.集合𝐴=1,1,2,4,𝐵=1,0,2,那么𝐴𝐵=.答案: 1,22.函数𝑓(𝑥)=log5(2𝑥+1)的单调增区间是.答案:(12,+).1建议解法:函数 𝑓(𝑥) = log5(2𝑥+ 1)的定义域为 ( 2, +),在定义域上 𝑓(𝑥) 是增函数注意:在确定
3、函数的单调区间时,首先要考虑定 义 域 3.设复数𝑧满足i(𝑧+1)=3+2ii是虚数单位,那么𝑧的实部是.建议解法:计算得 𝑧 + 1 = 2 + 3i,𝑧 = 1 + 3i根据如下列图的伪代码,当输入 𝑎, 𝑏 分别为 2, 3 时,最后输出的 𝑚 的值为答案: 1 End IfPrint 𝑚Else𝑚 𝑏If 𝑎𝑚𝑏 T𝑎henRead ⻔
4、6;, 𝑏4.(4 )答案: 3建议解法:这个算法的功能是:“求𝑎,𝑏两数中的最大值𝑚5. 从 1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是答案: 3 1建议解法:所有的根本领件为:1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 3,4,能使事件发生的根本领件为:1,2, 2,46. 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,那么该组数据的方差𝑠2=答案:3.2建议解法:该组数据的平均数为:𝑥=7,方差为:𝑠2=32+(1)
5、2+125+(2)2+(1)2=156= 3.27. tan(𝑥+4)=2,那么ttaann2𝑥𝑥的值为答案:49tan𝑥+11 2tan𝑥3tan𝑥4常规解法:由得 1 tan𝑥 = 2,即 tan𝑥 = 3,所以 tan2𝑥 = 1 tan2 𝑥 = 4所以 tan2𝑥 = 9建议解法:先化简得ttaann2𝑥𝑥=1t2an2𝑥,由得tan𝑥=13,所以
6、ttaann2𝑥𝑥=49𝑥8. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,过坐标原点的一条直线与函数𝑓(𝑥)=2的图象交于𝑃,𝑄两点,那么线段𝑃𝑄长的最小值是函数 𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝜔𝑥 + 𝜑) (𝐴, 𝜔, 𝜑 为常数,𝐴 0,𝜔 0)
7、 的局部图象如图所示,那么 𝑓(0) 的值是 73 12答案: 26 𝑂2𝑥建议解法:首先 𝐴 = 2,由𝜔 + 𝜑 = ,所以 𝑓(𝑥) = 2 sin(2𝑥 + 3 ),从而 𝑓(0) = 26 𝜔 + 𝜑 =,712 32得𝜔 = 2,( 9 )𝜑 =.32𝑥𝑥 0,那么由函数 𝑓(𝑥) 的图象的对称性,
8、得 𝑄(𝑥, )2𝑥建议解法:设 𝑃(𝑥, ),所以,𝑃𝑄 = 2𝑥2 + 𝑥42 4答案: 49.10.𝒆1,𝒆2是夹角为23的两个单位向量,𝒂=𝒆12𝒆2,𝒃=𝑘𝒆1+𝒆2假设𝒂𝒃=0,那么实数𝑘的值为.答案:54由,得1121212,5建议解法:首先
9、9942;12=1,𝒆22=1,𝒆1𝒆2=12.𝒂𝒃=0𝑘𝒆22𝒆22𝑘𝒆𝒆+𝒆𝒆=0即 𝑘 2+ 𝑘 2 = 0,所以 𝑘 = 4𝑥 2𝑎, 𝑥 1.11.实数𝑎0,函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑎,𝑥 0
10、矛盾,舍去建议解法:假设 𝑎 0,那么 𝑓(13 𝑎) = 2(1 𝑎)+ 𝑎 = 2 𝑎,𝑓(1+ 𝑎) = (1+ 𝑎) 2𝑎= 1 3𝑎假设,那么3,𝑎0)的图象上的动点,该图象在点𝑃处的切线交轴于点过点作的 垂 线交轴于点设线段的中点的纵坐标为,那么的最大值是.答案:12(e+1e)𝑠建议解法:设 𝑃(𝑠,e ) (𝑠
11、 0)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠由𝑓(𝑠)=e得切线𝑙的方程为𝑦e=e(𝑥𝑠),所以𝑀(𝑠0,e𝑠e).𝑠1𝑠𝑠所以22e𝑠直线𝑃𝑁的方程为(𝑥𝑠)+e𝑠(𝑦e𝑠)=0,所以𝑁(0,e𝑠
12、;+e𝑠)𝑡=𝑔(𝑠)=e𝑠e+(𝑠 0)而𝑔(𝑠)=e𝑠12e𝑠12𝑠e𝑠+12e𝑠𝑠=12(1𝑠)(e𝑠+e1𝑠)所以,当𝑠=1时,𝑡取最大值12(e+1e)13.设1=𝑎1𝑎2𝑎7,其中𝑎1,𝑎3,Ү
13、86;5,𝑎7成公比为𝑞的等比数列,𝑎2,𝑎4,𝑎6成公差为1的等差数列,那么𝑞的 最小值是答案: 3 3建议解法:设 𝑎 = 𝑏,那么 1 𝑏 𝑞 𝑏 + 1 𝑞 𝑏 + 2 𝑞 23其次,假设 𝑞 3首先,𝑏 = 1,𝑞 = 3 满足不等式;23综上可得,𝑞 的最小值为3,那么 𝑏
14、9902; 2 1,与 𝑏 1 矛盾333,那么实数 𝑚 的取值范围是 14.设集合𝐴=(𝑥,𝑦)|𝑚2(𝑥2)2+𝑦2𝑚2,𝑥,𝑦𝐑,𝐵=(𝑥,𝑦)|2𝑚𝑥+𝑦2𝑚+1,𝑥,𝑦𝐑假设𝐴𝐵答案:12,2+22
15、9898;1建议解法:首先 𝐵 ,由 𝐴 得 𝑚 2,即 𝑚 0 或 𝑚 2集合 𝐴 表1 示的图形是:以点 𝑃(2, 0) 为圆心,外边界圆的半径 𝑟 = |𝑚| 的圆盘或圆环当 𝑚 = 0 时缩为点 𝑃 ;集合𝐵表示图形是:以两条直线𝑙1:𝑥+𝑦=2𝑚和𝑙2:𝑥+𝑦=2𝑚+1
16、为边界的带型区域;当 𝑚= 2时变为圆|22𝑚|12𝑚|圆心𝑃到直线𝑙1的距离𝑑1=2=2|𝑚1|,圆心𝑃到直线𝑙2的距离𝑑2=222所以 2(𝑚 1)2 𝑚2 或 2 (1 2𝑚)2 𝑚2因为𝐴𝐵,所以m1in𝑑1,𝑑2𝑟,即𝑑1𝑟或𝑑2
17、9903;,即𝑑12𝑟2或𝑑2𝑟2 化简得 𝑚2 4𝑚+ 2 0或 2𝑚2 4𝑚+ 1 0合并得 1 22 𝑚 2 + 2即 2 2 𝑚 2+ 2或 1 2 𝑚 1+2又因为𝑚0或𝑚121,2+2所以,实数𝑚的取值范围是2步骤二. 解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分请在答 题 卡 指 定 区 域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算15. (本小题总分值
18、14 分)在𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐(1) 假设 sin(𝐴 + 61) = 2 cos 𝐴,求 𝐴 的值;(2)假设cos𝐴=3,𝑏=3𝑐,求sin𝐶的值 3 223所以 sin 𝐶 = cos 𝐴 = 3 1另解:由 cos 𝐴 =,得 sin 𝐴 =
19、119887; = 3𝑐,313222所以 𝑎2 = 𝑏2 𝑐2,即1𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2,所以 𝐵 = 2 因为 0 𝐴 ,所以 𝐴 =(2) 由余弦定理得 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 2𝑏𝑐 cos 𝐴,又 cos 𝐴 =,22因为 cos 𝐴 0,所以 tan 𝐴 =3(1) 由得 3 sin
20、 𝐴 + 1 cos 𝐴 = 2 cos 𝐴,即 sin 𝐴 = 3 cos 𝐴解:因为 cos 𝐶 0,所以 tan 𝐶 = 21 2 ,从而 sin 𝐶 = 13 说明:本小题主要考查三角函数的根本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力由 𝑏 = 3𝑐及正弦定理,得 sin 𝐵 = 3 sin 𝐶,即 sin(𝐴 + 𝐶) = sin 𝐶所
21、以, 2 3 2 cos 𝐶 + 31 sin 𝐶 = sin 𝐶,即 cos 𝐶 = 22 sin 𝐶16. (本小题总分值 14分)𝐸, 𝐹𝐴𝑃, 𝐴𝐷𝐵𝐴如𝐷图=,60在四棱锥 𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷 中,平面 𝑃𝐴𝐷 平面 𝐴
22、9861;𝐶𝐷,𝐴𝐵 = 𝐴𝐷,𝐸 𝐹𝐵𝐶,分别是的中点(1) 求证:直线 𝐸𝐹 平面 𝑃𝐶𝐷;(2) 求证:平面 𝐵𝐸𝐹 平面 𝑃𝐴𝐷𝐴𝐷𝐵说明:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推
23、理论证能力𝐴 𝐹𝐷𝐶又因为 𝐵𝐹 平面 𝐵𝐸𝐹 ,所以平面 𝐵𝐸𝐹 平面 𝑃𝐴𝐷𝐵𝐹 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷,所以 𝐵𝐹 平面 𝑃𝐴𝐷因为平面 𝑃𝐴Ү
24、63; 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷,平面 𝑃𝐴𝐷 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐷,𝐸因为 𝐹 是 𝐴𝐷 的中点,所以 𝐵𝐹 𝐴𝐷所以,直线 𝐸𝐹 平面 𝑃𝐶𝐷(2) 连结 𝐵Ү
25、63;因为 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷,𝐵𝐴𝐷 = 60,所以 𝐴𝐵𝐷 为正三角形又因为 𝐸𝐹 平面 𝑃𝐶𝐷,𝑃𝐷 平面 𝑃𝐶𝐷,(1) 在 𝑃𝐴𝐷 中,因为 𝐸, 𝐹 分别是 𝐴𝑃
26、;, 𝐴𝐷 的中点,所以 𝐸𝐹 𝑃𝐷证明:(16 )17. (本小题总分值 14 分)𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷𝑃请你设计一个包装盒如下列图,𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒𝐸,𝐹 在 𝐴
27、19861;上,是被切去的一个等2 腰直角三角形斜边的两个端点设 𝐴𝐸= 𝐹𝐵= 𝑥cm(1) 某广告商要求包装盒的侧面积 3 cm 最大,试问应取何值𝑆𝑥(2) 某厂商要求包装盒的容积 𝑉cm 最大,试问 𝑥应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值𝐴𝑥𝐸𝐹60𝑃𝑥𝐵解: 设包装盒的的底面边长为 𝑎cm,高为 cm,那么由
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