2022年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学〔文〕
第一局部 〔选择题 共40分〕
一、 选择题共8小题。每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。
1．集合，，那么〔 〕
A． B． C． D．
2．设,且,那么 ( )
〔A〕 〔B〕 〔C〕〔D〕
3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是
〔A〕(B)〔C〕 (D)
4．在复平面内，复数对应的点位于
〔A〕第一象限 〔B〕第二象限
〔C〕第三象限 〔D〕第四象限
5．在△ABC中，,,那么
〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕1
6．执行如下列图的程序框图，输出的S值为
开始
是
否

输出
结束

〔A〕1 〔B〕 〔C〕 〔D〕
7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，那么到各顶点的距离的不同取值有〔 〕
〔A〕3个 〔B〕4个〔C〕5个 〔D〕6个
第二局部〔非选择题 共110分〕
二．填空题共6题，每题5分，共30分。
9．假设抛物线的焦点坐标为〔1,0〕那么=____;准线方程为_____.
10．某四棱锥的三视图如下列图，该四棱锥的体积为__________.
1
俯视图
侧〔左〕视图
正〔主〕视图
2 1 1 2

11．假设等比数列满足，那么公比=__________;前项=_____.
12．设为不等式组，表示的平面区域，区域上的点与点〔1，0〕之间的距离的最小值为___________.
13．函数f〔x〕=的值域为_________.
14．点，，.假设平面区域D由所有满足的点P组成，那么D的面积为__________.
三．解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．〔本小题共13分〕函数.
〔I〕求的最小正周期及最大值；
〔II〕假设，且，求的值.
16．(本小题共13分)以下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
〔Ⅰ〕求此人到达当日空气质量优良的概率;
〔Ⅱ〕求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;
〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大〔结论不要求证明〕
17．〔本小题共14分〕如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：
〔1〕底面；〔2〕平面；〔3〕平面平面
18．〔本小题共13分〕函数.
〔Ⅰ〕假设曲线在点)处与直线相切，求与的值。
〔Ⅱ〕假设曲线与直线 有两个不同的交点，求的取值范围。
19．〔本小题共14分〕直线〔〕：相交于，两点， 是坐标原点
〔1〕当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。
〔2〕当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。
20．本小题共13分〕给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
〔Ⅰ〕设数列为3，4，7，1，写出，，的值;
〔Ⅱ〕设〔〕是公比大于1的等比数列，且.证明：
，，…，是等比数列；
〔Ⅲ〕设，，…，是公差大于0的等差数列，且，证明：，，…，是等差数列.
参考答案
一．选择题：
1．B2．D3．C4．A5．B6．C7．C8．B
二．填空题：
9．2，10．311．2，12．13．〔－∞，2〕14．3
三．解答题：
15．解：〔I〕因为=
==，所以的最小正周期为，最大值为.
〔II〕因为，所以. 因为，
所以，所以，故.
16．解：〔I〕在3月1日至3月13日这13天中，1日．2日．3日．7日．12日．13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
〔II〕根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染〞等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日〞.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为.
〔III〕从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
17．〔I〕因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
〔II〕因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED为平行四边形，
所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD
所以BE∥平面PAD.
〔III〕因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由〔I〕知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
18．解：由，得.
〔I〕因为曲线在点处与直线相切，所以
，解得，.
〔II〕令，得.
与的情况如下：
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值.
当时，曲线与直线最多只有一个交点；
当时，>, ,
所以存在，，使得.
由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.
综上可知，如果曲线与直线有且只有两个不同交点，那么的取值范围是.
19．解：〔I〕因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设，代入椭圆方程得，即. 所以|AC|=.
〔II〕假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是的顶点，且AC⊥OB,所以.
由，消去并整理得.
设A,C，那么，.
所以AC的中点为M〔，〕.
因为M为AC和OB的交点，且，，所以直线OB的斜率为.
因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.
20．解：〔I〕.
〔II〕因为，公比，所以是递增数列.
因此，对，，.
于是对，.
因此且〔〕，即，，…，是等比数列.
〔III〕设为，，…，的公差.
对，因为，，所以=.
又因为，所以.
从而是递增数列，因此〔〕.
又因为，所以.
因此. 所以.
所以=.
因此对都有，即，，…，是等差数列.