2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(上海卷答案).docx

2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海 数学试卷〔理工农医类〕
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，总分值150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂〔选择题〕或写
〔非选择题〕在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、
1、 函数
2、 假设复数z=1+2i，其中i是虚数单位，那么=___________.
3、 假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，那么该抛物线的准线方程为___________.
4、 设假设，那么a的取值范围为_____________.
5、 假设实数x,y满足xy=1,那么+的最小值为______________.
6. 假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么其母线与底面角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕。
7. 曲线C的极坐标方程为，那么C与极轴的交点到极点的距离是。
8. 设无穷等比数列{}的公比为q，假设，那么q=。
9. 假设，那么满足的取值范围是。
10. 为强化平安意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，那么选择的3天恰好为连续3天的概率 是〔结构用最简分数表示〕。
二、
11.互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},那么a+b=。
12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，那么 。
13.某游戏的得分为1,2,3,5，随机变量表示小白玩游戏的得分。假设=4.2，那么小白得5分的概率至少为。
14.曲线C：，直线l：x=6。假设对于点A〔m，0〕,存在C上的点P和l上的点Q使得，那么m的取值范围为。
15. 设,那么“〞是“〞的〔 〕
（A） 充分条件 〔B〕必要条件
〔C〕充分必要条件 〔D〕既非充分又非必要条件
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，那么的不同值的个数为〔 〕
〔A〕1 (B)2 (C)4 (D)8
17. 与是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，那么关于x和y的方程组的解的情况是〔〕
（A） 无论k，如何，总是无解 〔B)无论k，如何，总有唯一解
〔C〕存在k，，使之恰有两解 〔D〕存在k，，使之有无穷多解
18. 假设是的最小值，那么的取值范围为〔 〕。
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)0，2]
三．解答题〔本大题共5题，总分值74分〕
19、〔此题总分值12分〕
底面边长为2的正三棱锥,其外表展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.
20. 〔此题总分值14分〕此题有2个小题，第一小题总分值6分，第二小题总分值1分。
设常数，函数
（1） 假设=4，求函数的反函数；
（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
21. 〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
（1） 设计中是铅垂方向，假设要求，问的长至多为多少〔结果精确到0.01米〕
（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长〔结果精确到0.01米〕
22〔此题总分值16分〕此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记假设<0，那么称点被直线分隔。假设曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，那么称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵假设直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
23. 〔此题总分值18分〕此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.
数列满足.
（1） 假设，求的取值范围；
（2） 假设是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3） 假设成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
参考答案
一、〔第1题至第14题〕
1. 2. 6 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 〔0,1〕 10. 11. 13. 0.2 14. [2,3]
二、〔第15题至第18题〕
题号
15
16
17
18
答案
B
A
B
D
三、〔第19题至第23题〕
19.解：在中，，所以AC是中位线，
故
同理，所以是等边三角形，各边长均为4。
边Q是的中心，那么PQ平面ABC，
所以
从而，
20. 解：〔1〕因为，所以.
得,且
因此，所求反函数为或
〔Ⅱ〕当时，定义域为R，故函数为偶函数；
当时，定义域为
故函数是奇函数；
当且时，定义域为关于原点不对称，故函数
既不是奇函数，也不是偶函数。
21. 解：〔1〕记CD=h.根据得
所以
解得因此，CD的长至少约为38.28米。
（2） 在中，由，
由正弦定理得解得BD≈85.064.
在中，由余弦定理得
解得，所以，CD的长约为26.93米。
22. [证]〔1〕因为，所以点被直线分隔。
[解]〔2〕直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即因为直线是曲线上的分割点，故它们没有公共点，
即
当时，对于直线，曲线上的点〔-1,0〕和〔1,0〕满足
，即点〔-1,0〕和〔1,0〕被分割。
故实数k的取值范围是
[证]〔3〕设M的坐标为，
那么曲线E的方程为，即.
对任意的不是上述方程的解，记y轴与曲线E没有公共点。
又曲线E上的点〔-1,2〕和〔1,2〕对于y轴满足，即点〔-1,2〕和〔1,2〕被y轴分割，
所以y轴为曲线E的分割线。
假设过原点的直系不是y轴，设其为。
由，得，
令，
因为，所以方程有实数解，
即直线与曲线E有公共点，故直系不是曲线E的分割线。
综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线。
23. [解]〔1〕由条件得且，解得.
所以x的取值范围是[3,6].
〔2〕由，且,得，所以
又，所以
当时，，由得成立
当时，即
① 假设，那么，
由，得，所以
② 假设，那么
由，得，所以
综上，q的取值范围为
（3） 设的公差为，由，且
得，
即
当时，；
当时，由，得，
所以.
所以
所以的最大值为1999，时，的公差为