2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江苏卷).docx
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2022年普通高等学校招生全国统一考试 〔江苏卷〕 数学Ⅰ 本卷须知 绝密★启用前 考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求: 1.本试卷共4页,均为非选择题〔第1题~第20题,共20题〕.本卷总分值为160分.考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1. 函数的最小正周期为▲. 解析: 2. 设(i为虚数单位),那么复数的模为▲. 解析: 3. 双曲线的两条渐近线的方程为▲ . 解析: Y N 输出n 开始 结束 〔第5题〕 4. 集合共有▲个子集. 解析:〔个〕 5. 右图是一个算法的流程图,那么输出的的值是 ▲ 解析:经过了两次循环,n值变为3 6. 抽样统计甲,乙两位射击运发动的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运发动 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 那么成绩较为稳定(方差较小)的那位运发动成绩的方差为▲. 解析:易知均值都是90,乙方差较小, 7. 现有某类病毒记作,其中正整数可以任意选取,那么都取到奇数的概率为▲ . 解析: 可以取的值有:共个 可以取的值有:共个 所以总共有种可能 符合题意的可以取共个 符合题意的可以取共个 所以总共有种可能符合题意 所以符合题意的概率为 8. 如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,那么▲ . 解析: 所以 9. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).假设点是区域内的任意一点,那么的取值范围是▲ . 解析: 易知切线方程为: 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 易知过C点时有最小值,过B点时有最大值0.5 10. 设分别是的边上的点,,,假设(为实数),那么的值为▲. 解析: 易知 所以 11. 是定义在上的奇函数.当时,,那么不等式的解集用区间表示为▲ . 解析: 因为是定义在上的奇函数,所以易知时, 解不等式得到的解集用区间表示为 12. 在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为.假设,那么椭圆的离心率为▲ . 解析: 由题意知 所以有 两边平方得到,即 两边同除以得到,解得,即 13. 平面直角坐标系中,设定点,是函数图像上一动点,假设点之间最短距离为,那么满足条件的实数的所有值为▲ . 解析: 由题意设 那么有 令 那么 对称轴 1.时, , 〔舍去〕 2.时, , 〔舍去〕 综上或 14. 在正项等比数列中,,.那么满足的最大正整数的值为▲ . 解析: 又时符合题意,所以的最大值为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.〔本小题总分值14分〕 ,,. (1) 假设,求证:; (2) 设,假设,求,的值. 解:(1) (2) 得: 又 16. 〔本小题总分值14分〕 如图,在三棱锥中,平面平面,,. 过作,垂足为,点,分别是侧棱,的中点. 求证:(1) 平面平面; (2) . 解:(1)分别是侧棱的中点 在平面中,在平面外 平面 为中点 在平面中,在平面外 平面 与相交于 在平面中 平面平面 (2)平面平面 为交线 在中, 平面 与相交于 在平面中 平面 17. 〔本小题总分值14分〕 如图,在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为1,圆心在上. (1) 假设圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程; (2) 假设圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围. 解:〔1〕 ①与②联立得到圆心坐标 圆方程为 切线斜率不存在时,不合题意 设切线方程为 解得或 切线方程为或 〔2〕设 那么圆方程为 设 由题意 即 存在 圆与圆有交点 即两圆相交或相切 即 18. 〔本小题总分值16分〕 如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到. 现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为50m/min. 在甲出发2min后,乙从乘缆车到,在处停留1min后,再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路长为1260m,经测量,,. (1) 求索道的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短 (3) 为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内 解:(1) (2) 设乙出发分钟后,甲到了处,乙到了E处 那么有 根据余弦定理 即 当时,有最小值 (3) 设甲所用时间为,乙所用时间为,乙步行速度为 由题意 解不等式得 19. 〔本小题总分值16分〕 设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和. 记,,其中为实数. (1) 假设,且,,成等比数列,证明:; (2) 假设是等差数列,证明:. 解: 〔1〕 时, 成等比 〔2〕 由 是等差数列 设〔k,b为常数〕 有对任意恒成立 此时 命题得证 20. 〔本小题总分值16分〕 设函数,,其中为实数. (1) 假设在上是单调减函数,且在上有最小值,求的范围; (2) 假设在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论. 解:〔1〕 由题意:对恒成立 即对恒成立 在上有最小值 时,恒成立,在无最值 时,由题意 综上:的范围是: 〔2〕在上是单调增函数 对恒成立 即对恒成立 令,那么 那么有的零点个数即为与图像交点的个数 令 那么 易知在上单调递增,在上单调递减 在时取到最大值 当时, 当时, 图像如下 所以由图可知:时,有1个零点 时,有2个零点 时,有1个零点 综上所述:或时,有1个零点 时,有2个零点- 配套讲稿:
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