2022年南京市江宁区中考数学一模试卷(含答案).docx

2022年江苏省南京市江宁区中考数学一模试卷
一．选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分〕
1．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕在﹣1，0，2，﹣3这四个数中，最小的数是〔　　〕

A．
﹣1
B．
0
C．
2
D．
﹣3
考点：
有理数大小比较．
分析：
根据有理数大小比较的法那么可求解．
解答：
解：∵﹣1，﹣3是负数，
∴它们小于0，2，
又∵|﹣1|=1＜|﹣3|=3，
∴﹣3最小．
应选D．
点评：
此题考查了有理数的大小比较，属于根底题，解答此题的关键是熟练掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原那么．
2．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕的平方根是〔　　〕

A．
﹣
B．

C．
±
D．

考点：
平方根．
分析：
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，那么x就是a的平方根．
解答：
解：∵=，
∴的平方根是±．
应选C．
点评：
此题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕不等式组的解集为〔　　〕

A．
x＞2
B．
x＜3
C．
x＞2或 x＜﹣3
D．
2＜x＜3
考点：
解一元一次不等式组．
专题：
计算题．
分析：
分别解两个不等式得到x＞2和x＜3，然后根据“大于小的小于大的取中间〞即可得到不等式组的解集．
解答：
解：∵，
解①得x＞2，
解②得x＜3，
∴2＜x＜3．
应选D．
点评：
此题考查了解不等式组：先分别解出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解〞确定不等式组的解集．
4．〔2分〕〔2022•郴州〕一次数学测试后，随机抽取九年级二班5名学生的成绩如下：78，85，91，98，98．关于这组数据的错误说法是〔　　〕

A．
极差是20
B．
众数是98
C．
中位数是91
D．
平均数是91
考点：
算术平均数；中位数；众数；极差．
专题：
应用题．
分析：
根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解．
解答：
解：根据定义可得，极差是20，众数是98，中位数是91，平均数是90．故D错误．
应选D．
点评：
此题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．
5．〔2分〕〔2022•厦门〕两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x
﹣1
0
1
y
﹣1
1
3
那么y与x之间的函数关系式可能是〔　　〕

A．
y=x
B．
y=2x+1
C．
y=x2+x+1
D．

考点：
函数关系式．
专题：
压轴题．
分析：
观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
解答：
解：A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；
B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；
C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；
D．y=，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误．
应选：B．
点评：
此题主要考查了求函数关系式，此题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
6．〔2分〕〔2022•常州〕如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，那么线段PQ长度的最小值是〔　　〕

A．
4.75
B．
4.8
C．
5
D．
4
考点：
切线的性质．
专题：
压轴题．
分析：
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，那么有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．
解答：
解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，那么FD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴FC+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
应选B．

点评：
此题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
二．填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕
7．〔2分〕〔2022•南宁〕假设二次根式有意义，那么x的取值范围是　x≥2　．
考点：
二次根式有意义的条件．
分析：
根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
解答：
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为x≥2．
点评：
此题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．

考点：
平行线的性质．
专题：
探究型．
分析：
先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．
解答：
解：∵a∥b，∠1=45°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°．
故答案为：135．

点评：
此题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
9．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示0.000043应为　4.3×10﹣5．
考点：
科学记数法—表示较小的数．
分析：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：
解：0.000 043=4.3×10﹣5；
故答案为：4.3×10﹣5．
点评：
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．〔2分〕〔2022•滨湖区二模〕分解因式：2x2﹣8y2=　2〔x+2y〕〔x﹣2y〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
解答：
解：2x2﹣8y2=2〔x2﹣4y2〕=2〔x+2y〕〔x﹣2y〕．
点评：
考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法〔平方差公式〕．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
11．〔2分〕〔2022•市中区二模〕随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结果，然后利用概率公式直接求解即可．
解答：
解：∵随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反，
∴两次都是正面朝上的概率是．
点评：
此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕⊙O的半径为5厘米，假设⊙O′与⊙O外切时，圆心距为7厘米，那么⊙O′与⊙O内切时，圆心距为　3　厘米．
考点：
圆与圆的位置关系．
分析：
由⊙O的半径为5厘米，假设⊙O′与⊙O外切时，圆心距为7厘米，即可求得⊙O′的半径，那么可求得⊙O′与⊙O内切时的圆心距．
解答：
解：设⊙O的半径为R厘米，⊙O′的半径为r厘米，那么R=5厘米，
∵⊙O′与⊙O外切时，圆心距为7厘米，
∴R+r=7，
∴r=2，
∴当⊙O′与⊙O内切时，圆心距为R﹣r=5﹣2=3〔厘米〕．
故答案为：3．
点评：
此题考查了圆与圆内切与外切的知识．解题的关键是注意两圆的半径与圆心距之间的关系．
13．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕如果反比例函数y=的图象经过点〔1，3〕，那么它一定经过点〔﹣1，　﹣3　〕．
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：
探究型．
分析：
先根据反比例函数y=的图象经过点〔1，3〕求出k的值，再由k=xy为定值即可得出结论．
解答：
解：∵反比例函数y=的图象经过点〔1，3〕，
∴k=1×3=3，
∵3=〔﹣1〕×〔﹣3〕，
∴它一定过点〔﹣1，﹣3〕．
故答案为：﹣3．
点评：
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
14．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，假设OA=3cm，∠1=∠2，那么弧的长为　2π　cm．
考点：
弧长的计算；菱形的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据弧长的公式计算即可．
解答：
解：如图，连接OB．
由题意可知OA=OB=OC=OF=3，
∴△AOB，△BOC是等边三角形，
∴∠AOC=120°，
∵∠1=∠2，
∴∠EOF=120°，
故的长为 =2π．

点评：
主要考查了弧长的计算，解此题的关键是能利用菱形的性质求出扇形的半径和圆心角，从而求出弧长．
15．〔2分〕〔2022•河北〕某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规那么是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报〔+1〕，第二位同学报〔+1〕，第三位同学报〔+1〕，…这样得到的20个数的积为　21　．
考点：
规律型：数字的变化类．
专题：
压轴题．
分析：
根据得出数字变化规律，即可得出这样20个数据，进而得出这样20个数的积分子与分母正好能约分，最后剩下21，即可得出答案．
解答：
解：∵第一同学报〔+1〕，第二位同学报〔+1〕，第三位同学报〔+1〕，…
∴这样20个数据分别为：〔+1〕=2，〔+1〕=，〔+1〕=…〔+1〕=，〔+1〕=，
故这样得到的20个数的积为：2×××…××=21，
故答案为：21．
点评：
此题主要考查了数字变化规律，根据得出20个数据，进而得出20个数的积是解题关键．
16．〔2分〕〔2022•江宁区一模〕在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的局部是如下列图的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，那么原直角三角形纸片的面积是　16或24　．
考点：
图形的剪拼．
专题：
压轴题．
分析：
先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出两直角边的长，进而求出面积．
解答：
解：①如图：过点D作DN⊥AC于点N，

CD==2，
由题意可得出：DN=EC=4，
NC=DE=2，
∵D为AB中点，
∴AD=CD=BD，
∴AN=NC=2，BE=EC=4，
∴原直角三角形纸片的面积是：×4×8=16；②如图：过点E作EF⊥AC于点F，

因为CE==5，
点E是斜边AB的中点，那么AE=BE=CE=4，
由题意可得出：BD=CD=EF=4，
那么FC=DE=3，
∴AC=6，BC=8，
∴原直角三角形纸片的面积是：×6×8=24．
故答案为：16或24．
点评：
此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
三．解答题〔本大题共12小题，共88分〕
17．〔4分〕〔2022•江宁区一模〕﹣﹣〔﹣1〕0．
考点：
二次根式的混合运算；零指数幂．
分析：
首先对二次根式进行化简，计算0次幂，然后进行加减运算即可．
解答：
解：原式=3﹣3﹣1
=﹣1．
点评：
此题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行化简是关键．
18．〔6分〕〔2022•江宁区一模〕解方程组：．
考点：
解二元一次方程组．
专题：
计算题．
分析：
把第二个方程乘以3，然后利用加减消元法其解即可．
解答：
解：，
由②得，6x﹣y=5③，
①+③得，7x=7，
解得x=1，
将x=1代入①得，1+y=2，
解得y=1，
所以，此方程组的解是．
点评：
此题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
19．〔7分〕〔2022•江宁区一模〕甲、乙两人共同加工同一种机器零件，6天可以完成任务．如果甲单独完成，那么完成这项任务所需的时间是乙单独完成所需时间的2倍．求甲、乙两人单独完成这项任务各需多少天
考点：
分式方程的应用．
分析：
设乙单独完成任务需要x天，那么甲单独完成任务需要2x天，就可以表示出甲、乙的工作效率分别为、，由他们合作6天完成工作任务为等量关系建立方程即可．
解答：
解：设乙单独完成任务需要x天，那么甲单独完成任务需要2x天，由题意，得
6〔+〕=1，
解得：x=9，
经检验：x=9是原方程的解，且符合题意．
故甲需要的时间为：2x=18天
答：甲单独完成任务需要18天，乙单独完成任务需要9天．
点评：
此题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时根据工程问题的数量关系建立方程是关键．
20．〔6分〕〔2022•宁德〕2022年2月，国务院发布新修订的 环境空气质量标准 中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，环境检测中心今年在京津冀、长三角、珠三角等城市群以及直辖市和省会城市进行PM2.5检测，某日随机抽取25个监测点的研究性数据，并绘制成统计表和扇形统计图如下：
类别
组别
PM2.5日平均浓度值〔微克/立方米〕
频数
频率
A
1
15～30
2
0.08
2
30～45
3
0.12
B
3
45～60
a
b
4
60～75
5
0.20
C
5
75～90
6
c
D
6
90～105
4
0.16
合计
以上分组均含最小值，不含最大值
25
1.00
根据图表中提供的信息解答以下问题：
〔1〕统计表中的a=　5　，b=　0.20　，c=　0.24　；
〔2〕在扇形统计图中，A类所对应的圆心角是　72　度；
〔3〕我国PM2.5平安值的标准采用世卫组织〔WHO〕设定的最宽限值：日平均浓度小于75微克/立方米．请你估计当日环保监测中心在检测100个城市中，PM2.5日平均浓度值符合平安值的城市约有多少个
考点：
频数〔率〕分布表；用样本估计总体；扇形统计图．
专题：
常规题型．
分析：
〔1〕根据总的监测点个数为25，即可求出第5个组别的频率；各个组别的频数，即可求出a的值，继而求出该组别的频数；
〔2〕A类所对应的圆心角=A类的频率×360°；
〔3〕PM2.5日平均浓度值符合平安值的城市的个数=100×PM2.5日平均浓度值符合平安值的城市的频率．
解答：
解：〔1〕a=25﹣〔2+3+5+6+4〕=5，
b==0.20，
c==0.24；
故答案为：5，0.20，0.24；〔2〕A类所对应的圆心角=〔0.08+0.12〕×360°=72°；
故答案为：72°；〔3〕∵100×〔0.08+0.12+0.20+0.20〕=60个，
∴PM2.5日平均浓度值符合平安值的城市的个数约为60个．
点评：
此题考查的是扇形统计图、频率分布表及用样本估计总体的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．〔6分〕〔2022•江宁区一模〕如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在AD的两侧，且AF=DC，AB=DE，AB∥DE．
〔1〕求证：△ABC≌△DEF；
〔2〕连接BF、CE，求证：四边形BFEC是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
〔1〕求出AC=DF，∠A=∠D，根据SAS推出两三角形全等即可；
〔2〕根据全等得出BC=EF，∠BCA=∠DFE，推出BC∥EF，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：
〔1〕证明：∵AF=CD，
∴AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF．〔2〕证明：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠BCA=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BFEC是平行四边形．
点评：
此题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22．〔8分〕〔2022•江宁区一模〕：二次三项式﹣x2﹣4x+5．
〔1〕求当x为何值时，此二次三项式的值为1．
〔2〕证明：无论x取何值，此二次三项式的值都不大于9．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
分析：
〔1〕根据二次三项式﹣x2﹣4x+5的值是1可得方程﹣x2﹣4x+5=1，再解方程即可；
〔2〕先利用配方法将所给的代数式变形，然后根据非负数、不等式的性质即可证明．
解答：
〔1〕解：由题意得：﹣x2﹣4x+5=1，
整理，得x2+4x﹣4=0，
解得：x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2；
故当x为﹣2+2或﹣2﹣2时，此二次三项式的值为1；〔2〕证明：﹣x2﹣4x+5=﹣〔x2+4x〕+5=﹣〔x2+4x+4﹣4〕+5=﹣〔x+2〕2+9，
∵﹣〔x+2〕2≤0，
∴﹣〔x+2〕2+9≤9，
即：﹣x2﹣4x+5≤9，
∴无论x取何值，此二次三项式的值都不大于9．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的解法﹣﹣公式法及配方法的应用，解题时要牢记求根公式，注意配方法的步骤．
23．〔8分〕〔2022•江宁区一模〕某影视城同时放映三部不同的电影，分别记为A、B、C．
〔1〕假设王老师从中随机选择一部观看，那么恰好是电影A的概率是；
〔2〕假设小聪从中随机选择一部观看，小芳也从中随机选择一部观看，求至少有一人在看A电影的概率．
考点：
列表法与树状图法．
专题：
计算题．
分析：
〔1〕三部电影选择其中一部，用1除以3即可求出所求的概率；
〔2〕列表得到可能的结果有9种，找出含有A的情况数有5种，即可求出所求的概率．
解答：
解：〔1〕；
〔2〕用列表法求出所有可能出现的结果：

A
B
C
A
〔A，A〕
〔B，A〕
〔C，A〕
B
〔A，B〕
〔B，B〕
〔C，B〕
C
〔A，C〕
〔B，C〕
〔C，C〕
从上表中可以看出，一共有9种可能的结果，它们是等可能的，
∴P〔至少有一人在看A电影〕=．
故答案为：〔1〕
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．〔8分〕〔2022•宁夏〕正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
〔1〕求证：EF=FM；
〔2〕当AE=1时，求EF的长．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．
专题：
计算题．
分析：
〔1〕由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
〔2〕由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
解答：
解：〔1〕证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF〔SAS〕，
∴EF=MF；…〔4分〕〔2〕设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+〔4﹣x〕2=x2，
解得：x=，
那么EF=．…〔8分〕

点评：
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解此题的关键．
25．〔8分〕〔2022•楚雄州〕如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE〔结果保存两个有效数字〕．
〔参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75〕
考点：
解直角三角形的应用．
分析：
过点C作CF∥DA交AB于点F，易证四边形AFCD是平行四边形．再在直角△BEC中，利用三角函数求解．
解答：
解：过点C作CF∥DA交AB于点F．
∵MN∥PQ，CF∥DA，
∴四边形AFCD是平行四边形．
∴AF=CD=50，∠CFB=35°．
∴FB=AB﹣AF=120﹣50=70． 〔3分〕
根据三角形外角性质可知，∠CBN=∠CFB+∠BCF，
∴∠BCF=70°﹣35°=35°=∠CFB，
∴BC=BF=70． 〔5分〕
在Rt△BEC中，
sin70°=，
∴CE=BC•sin70°≈70×0.94=65.8≈66．
答：河流的宽是66米．

点评：
不规那么图形可以通过作平行线转化为平行四边形与直角三角形的问题进行解决．
26．〔8分〕〔2022•江宁区一模〕：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且D为AC的中点，过D作DE丄CB，垂足为E．
〔1〕判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
〔2〕CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
考点：
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
分析：
〔1〕利用切线的判定得出∠ODE=90°，进而求出DE是⊙O的切线，
〔2〕利用常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直〞，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法，利用相似三角形的判定与性质求出即可．
解答：
〔1〕证明：连接OD，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴DO∥BC，
∵DE丄CB，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线；〔2〕解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，
∴，
∴BC=，
又∵OD=BC，
∴OD=，
即⊙O的半径为 ．

点评：
此题主要考查了圆的切线的性质、垂直的判定、圆周角的性质、三角形相似等知识，熟练作出正确辅助线是解题关键．
27．〔8分〕〔2022•江宁区一模〕A、B两地相距630千米，客车、货车分别从A、B两地同时出发，匀速相向行驶〔客车的终点站是C站，货车的终点站是A站〕．客车需9小时到达C站，货车2小时可到达途中C站〔如图1所示〕．货车的速度是客车的 ，客车、货车到C站的距离分别为y1、y2〔千米〕，它们与行驶时间x〔小时〕之间的函数关系〔如图2所示〕．
〔1〕客车的速度是　60　千米/小时，货车的速度是　45　千米/小时；
〔2〕P点坐标的实际意义是　表示货车出发后第14小时，货车到达终点站A，此时距离C站540km；　；
〔3〕求两小时后，货车与C站的距离y2与行驶时间x之间的函数关系式；
〔4〕求客车与货车同时出发后，经过多长时间两车相距360千米
考点：
一次函数的应用．
分析：
〔1〕设客车的速度为每小时x千米，那么货车的速度为每小时x千米，根据客车走的路程+货车走的路程=630建立方程求出其解即可；
〔2〕根据货车的速度就可以求出货车走到A地的时间，就可以求出P的坐标，进而表示出P的意义；
〔3〕由货车的速度可以知道P的坐标，由待定系数法就可以求出DP的解析式；
〔4〕分两种情况：当客车与货车相遇前两车相距360千米，当客车与货车相遇后两车相距360千米，分别建立方程求出其解即可．
解答：
解：〔1〕设客车的速度为每小时x千米，那么货车的速度为每小时x千米，由题意，得
9x+x×2=630，
解得：x=60，
∴货车的速度为：60×=45千米〔2〕由题意，得
货车从B地到A地需要的时间为：630÷45=14，
∴P〔14，540〕
∴表示货车出发后第14小时，货车到达终点站A，此时距离C站540km；〔3〕P〔14，540〕，D〔2，0〕，设PD的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴y=45x﹣90〔2≤x≤14〕〔4〕分两种情况：
相遇前，设客车与货车行驶a小时时两车相距360千米，由题意，得
60a+45a=630﹣360，
解得：a=
相遇后，设客车与货车行驶b小时后两车相距360千米，由题意，得
60x+45x=630+360，
解得：b=，
答：两车同时出发小时或小时，两车相距360千米．
故答案为：60，45．
点评：
此题是一道一次函数的综合试题，考查了路程=速度×时间的运用，相遇问题的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，解答时结合函数图象认真分析数据的变化关系是关键．
28．〔11分〕〔2022•江宁区一模〕如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A、B，它的对称轴是过点〔1，0〕且与y轴平行的直线，点A的横坐标是﹣2．
〔1〕求二次函数的关系式；
〔2〕如图2，直线l过点C〔2，0〕且与y轴平行，现有点P由点A出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿直线l向上以每秒1个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒．
①当PQ⊥AQ时，求t的值；
②在二次函数的图象上是否存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形假设存在求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
〔1〕由对称轴是过点〔1，0〕且与y轴平行的直线，点A的横坐标是﹣2，可求出B的坐标，把A和B的坐标分别代入二次函数求出b和c的值即可；
〔2〕①当PQ⊥AQ时，易证△AQC∽△QPC，根据相似三角形的性质可得关于t的比例式，求出t的值即可；
②在二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，此题可分三种情况讨论，以PQ和PC为平行四边形邻边；以PC和CQ为平行四边形邻边；
以PQ和CQ为平行四边形邻边，分别求出符合题意的t值即可．
解答：
解：〔1〕由题意知点B的坐标为〔4，0〕，把点A〔﹣2，0〕、B〔4，0〕代入二次函数的关系式，
得，
解得，
故二次函数的关系是y=x2﹣x﹣1；〔2〕①当PQ⊥AQ时，∠AQP=90°，
∴∠APQ+∠QAP=90°，
又∵CQ⊥AB，
∴∠ACQ=∠BCQ=90°，
∴∠QAP+∠AQC=90°，∠APQ=∠AQC，
∴△AQC∽△QPC，
∴，
∴CQ2=AC•PC
又∵CQ=t，CP=2t﹣4，AC=4，
∴t2=4×〔2t﹣4〕，
解得：t=4，
∴当PQ⊥AQ时，t的值是4；
②在二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：
〔Ⅰ〕以PQ和PC为平行四边形邻边，那么QD∥PC，QD=PC，
∴点D的坐标为〔6﹣2t，t〕，代入y=x2﹣x﹣1，得到t=〔6﹣2t〕2﹣〔6﹣2t〕﹣1，解得：t=或，
∴点D的坐标为〔﹣1﹣，〕、〔﹣1+，〕；
〔Ⅱ〕以PC和CQ为平行四边形邻边，那么QD∥PC，QD=PC，∴点D的坐标为〔2t﹣2，t〕，代入y=x2﹣x﹣1，得到t=〔2t﹣2〕2﹣〔2t﹣2〕﹣1，解得：t=5或﹣1〔舍去〕
∴点D的坐标为〔8，5〕；
〔Ⅲ〕以PQ和CQ为平行四边形邻边，那么 PD∥QC，PD=QC，∴点D的坐标为〔2t﹣2，﹣t〕，代入y=x2﹣x﹣1，得到﹣t=〔2t﹣2〕2﹣〔2t﹣2〕﹣1，解得：t=1或2〔舍去〕
∴点D的坐标为〔0，﹣1〕，
综上可知：二次函数的图象上存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形，点D的坐标为：〔﹣1﹣，〕、〔﹣1+，〕；〔8，5〕；〔0，﹣1〕．
点评：
此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，特别是第二问的第二小问要用到分类讨论思想，力争做题时做到不重不漏．