2017年上海市青浦区中考数学一模试卷.doc

2017年上海市青浦区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在下列各数中，属于无理数的是（　　）
A．4 B． C． D．
2．（4分）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
3．（4分）一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
5．（4分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数y= 的定义域是　　．
8．（4分）方程=2的根是　　．
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　　．
10．（4分）从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是　　．
11．（4分）将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是　　．
12．（4分）如果点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y1　　y2．（填“＞”、“=”、“＜”）
13．（4分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为　　．
14．（4分）点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是　　．
15．（4分）已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC=2：1．设=，=．那么=　　．（用向量、的式子表示）
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是　　．

17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG=　　．

18．（4分）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么的值是　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：÷（a﹣1）+．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求平移后直线的表达式；
（2）求∠OBC的余切值．

22．（10分）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

25．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

2017年上海市青浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）（2017•青浦区一模）在下列各数中，属于无理数的是（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：4=2，，是有理数，
是无理数，
故选：B．

2．（4分）（2017•阳谷县一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【解答】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确；
故选：D．

3．（4分）（2017•青浦区一模）一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＜0），b=﹣1＜0，
∴一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第﹣象限．
故选：A．

4．（4分）（2017•青浦区一模）抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
【解答】解：把x=0代入抛物线y=2x2+4中，
解得：y=4，
则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选C．

5．（4分）（2017•青浦区一模）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：A．

6．（4分）（2017•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2017•青浦区一模）函数y= 的定义域是　x≠1　．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．

8．（4分）（2017•青浦区一模）方程=2的根是　x=　．
【解答】解：∵=2，
∴3x﹣1=4，
∴x=，
经检验x=是原方程组的解，
故答案为：．

9．（4分）（2008•苏州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　m≤1　．
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，
∴m≤1
答：m的取值范围是m≤1．

10．（4分）（2017•青浦区一模）从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是　　．
【解答】解：画树状图如下：

一共有6种等可能结果，其中和为素数的有4种，
∴点数之积为素数的概率是=，
故答案为：．

11．（4分）（2017•青浦区一模）将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是　y=x2+4x﹣3　．
【解答】解：∵抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x﹣3，
故答案为y=x2+4x﹣3．

12．（4分）（2017•青浦区一模）如果点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y1　＜　y2．（填“＞”、“=”、“＜”）
【解答】解：当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，
当x=2时，y2=（2+3）2=25，
y1＜y2，
故答案为＜．

13．（4分）（2017•青浦区一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为　6　．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°=360°×2，
解得n=8．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．

14．（4分）（2017•青浦区一模）点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是　4　．
【解答】解：延长AG交BC与F，

∵点G是△ABC的重心，BC=6，
∴BF=3，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG：GF=2：1，
∵GD∥AB，
∴BD：DF=DG：GF=2：1，
∴BD=2，DF=1，
∴CD=3+1=4，
故答案为：4

15．（4分）（2017•青浦区一模）已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC=2：1．设=，=．那么=　+　．（用向量、的式子表示）
【解答】解：如图，

∵=2，
∴=，即AD=AC，
则=
=+
=（）+
=+
=+，
故答案为：+．

16．（4分）（2017•青浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是　　．

【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，
∴AD=BD，
设CD=x，则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：（3﹣x）2=x2+22，
解得：x=，
则tan∠DBC==，
故答案为：

17．（4分）（2017•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG=　6：4：5　．

【解答】解：设AE=x，则DE=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF，
∴==，==，
∴=，
设EF=2y，则CF=3y，
∴EC=EF+CF=5y，
∴GE=y，
则CF：EF：EG=3y：2y：y=6：4：5，
故答案为：6：4：5．

18．（4分）（2017•青浦区一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么的值是　　．

【解答】解：如图，由旋转的性质得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠CAD=∠ABD，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，
过D作∠ADB的平分线DF，
∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，
∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD，
∴△ABD∽△DBF，
∴，即，
解得=，
故答案为：．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）（2017•青浦区一模）计算：÷（a﹣1）+．
【解答】解：原式=×+
=+
=+
=．

20．（10分）（2017•青浦区一模）解方程组：．
【解答】解：由①得：x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2．
原方程可化为，
解得，原方程的解是，．

21．（10分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求平移后直线的表达式；
（2）求∠OBC的余切值．

【解答】解：（1）当x=2时，y==4，
∴点A的坐标为（2，4）．
∵A（2，4）在y=kx（k≠0）的图象上，
∴4=2k，解得：k=2．
设直线BC的函数解析式为y=2x+b，
∵点B的坐标为（3，0），
∴0=2×3+b，解得：b=﹣6，
∴平移后直线的表达式y=2x﹣6．
（2）当x=0时，y=﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6），
∴OC=6．
∴．

22．（10分）（2017•青浦区一模）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，=i=1：，
∴设BF=k，则CF=，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=．
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+6．
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，
∴AH=tan37°×（40+6）≈37.8（米），
∵BH=BF﹣FH，
∴BH=6﹣1.5=4.5．
∵AB=AH﹣HB，
∴AB=37.8﹣4.5=33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．

23．（12分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

【解答】证明：（1）∵CG2=GE•GD，
∴．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴．
∴FE•CG=EG•CB．

24．（12分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，
∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，
∴点B的坐标为（3，0）．
∴9a﹣12a+1=0，
∴．
∴．
（2）如图，

过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，
∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，，
∴△PMC≌△PNB，
∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC2=PB2，
∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2．
∴P（2，2）．
（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），
∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），
∴PO=，AC=，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=，
∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，
在Rt△OAC中，OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠ACB＜45°，
∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当时，∴，
∴OQ=4，
∴Q（﹣4，0）．
（ii）当时，∴，
∴OQ=2，
∴Q（﹣2，0）．
当点Q在点A右侧时，
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．

25．（14分）（2017•青浦区一模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．
（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：
垂足分别为点H、F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=5，，
∴AO=OC=，BO=OD=．
∵，
∴AH=4，BH=3．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵EF∥AH，
∴，
∴．
∴．
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：
①当∠ECP=90°时
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵，
∴，∴BP=．
②当∠CEP=90°时，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴，
∴，．
∵AD∥BP，
∴，
∴，
∴BP=15．
综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为或15．

参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sdwdmahongye；733599；dbz1018；放飞梦想；星期八；zjx111；HLing；郝老师；三界无我；nhx600；sd2011；1987483819；sks；王学峰；caicl；曹先生；zhjh；CJX；星月相随；家有儿女（排名不分先后）
菁优网
2017年4月8日
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