2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(安徽卷详解).docx

2022·安徽卷(文科数学)
1． [2022·安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　)
A．－iB．iC．－1D．1
1．D[解析]i3＋＝－i＋＝1.
2． [2022·安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否认是(　　)
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x<0
D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0
2．C[解析]易知该命题的否认为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．
3． [2022·安徽卷] 抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1B．y＝－2
C．x＝－1D．x＝－2
3．A[解析]因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.
4． [2022·安徽卷] 如图1­1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)
图1­1
A．34B．55 C．78D．89
4．B[解析]由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：
第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；
第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；
第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；
第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；
第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；
第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；
第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；
第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环．
5． [2022·安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，那么(　　)
A．b<a<c B．c<a<b
C．c<b<a D．a<c<b
5．B[解析]因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c<a<b.
6． [2022·安徽卷] 过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.B.
C.D.
6．D[解析]易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离≤1，即k2－k≤0，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是.
7． [2022·安徽卷] 假设将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，那么φ的最小正值是(　　)
A.B.
C.D.
7．C[解析]方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.
8． [2022·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1­2所示，那么该多面体的体积是(　　)
图1­2
A.B.C．6D．7
8．A[解析]如下列图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的局部，其体积V＝8－2111＝.
9． [2022·安徽卷] 假设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，那么实数a的值为(　　)
A．5或8B．－1或5
C．－1或－4D．－4或8
9．D[解析]当a≥2时，
f(x)＝
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f(x)
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
10． [2022·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，假设x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，那么a与b的夹角为(　　)
A.B.C.D．0
10．B[解析]令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，那么可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin＝S3＝4a·b.设a，b的夹角为θ，那么Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，所以cosθ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
11． [2022·安徽卷] ＋log3＋log3＝________.
11.[解析]原式＝＋log3＝＝.
12． [2022·安徽卷] 如图1­3，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，那么a7＝________．
图1­3
12.[解析]在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝AB＝1，…，A6A7＝a7＝·AB＝2＝.
13． [2022·安徽卷] 不等式组表示的平面区域的面积为________．
13．4[解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝2(2＋2)＝4.
14． [2022·安徽卷] 假设函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝那么f＋f＝______．
14.[解析]由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
15． [2022·安徽卷] 假设直线l与曲线C满足以下两个条件：
(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．那么称直线l在点P处“切过〞曲线C.

①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过〞曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过〞曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过〞曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过〞曲线C：y＝tanx；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过〞曲线C：y＝lnx.
15．①③④[解析]对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；
对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；
对于③，y′＝cosx，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；
对于④，y′＝，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，④正确；
对于⑤，y′＝，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－lnx(x>0)可得h′(x)＝1－＝，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．
16． [2022·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cosA与a的值．
16．解：由三角形面积公式，得
31·sinA＝，故sinA＝.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cosA＝±＝±＝±.
①当cosA＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－213＝8，
所以a＝2.
②当cosA＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－213＝12，所以a＝2.
17． [2022·安徽卷] 某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1­4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图1­4
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关〞．
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：K2＝
17．解： (1)300＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有3000.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关〞．
18． [2022·安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．解： (1)证明：由可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，
从而可得bn＝n·3n.
Sn＝131＋232＋…＋(n－1)3n－1＋n3n，①
3Sn＝132＋233＋…＋(n－1)3n＋n3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，
所以Sn＝.
19． [2022·安徽卷] 如图1­5所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
图1­5
(1)证明：GH∥EF；
(2)假设EB＝2，求四边形GEFH的面积．
19．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.
又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
再由PO∥GK得GK＝PO，
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由可得OB＝4，PO＝＝＝6，
所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝3＝18.
20． [2022·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1<x2，
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；
当x1<x<x2时，f′(x)>0.
故f(x)在和内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．
21． [2022·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)假设|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)假设cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，那么k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)· (2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A.
故△AF1F2为等腰直角三角形，
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.