2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷).docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔湖南卷〕
数学〔理工农医类〕
本试卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共5页，时量120分钟，总分值150分。
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，那么宜采用的抽样方法是
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3.在锐角中，角所对的边长分别为.假设
A． B． C． D．
4.假设变量满足约束条件，
A． B． C． D．
5.函数的图像与函数的图像的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
6. 是单位向量，.假设向量满足
A． B．
C． D．
7．棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的正视图的面积不可能等于
A． B． C． D．
8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点〔如图〕.假设光线经过的中心，那么等
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分，共35分.
〔一〕选做题〔请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，那么按前两题计分〕
9.在平面直角坐标系中，假设
右顶点，那么常数.
10.12.
11.如图2，在半径为的中,弦相交于点，，那么圆心到弦的距离为.
必做题〔12-16题〕
12.假设.
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入9.
14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，假设且的最小内角为，那么C的离心率为___。
15．设为数列的前n项和，那么
〔1〕_____；〔2〕___________。
16．设函数
〔1〕记集合，那么所对应的的零点的取值集合为____。
〔2〕假设.〔写出所有正确结论的序号〕
①
②
③假设
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．〔本小题总分值12分〕函数。
〔I〕假设是第一象限角，且。求的值；
〔II〕求使成立的x的取值集合。
18．〔本小题总分值12分〕某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点〔指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点〕处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y〔单位：kg〕与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米。
〔I〕从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近〞的概率；
〔II〕从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
19．〔本小题总分值12分〕如图5，在直棱柱，，。
〔I〕证明：；〔II〕求直线所成角的正弦值。
20．〔本小题总分值13分〕在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径〞。如图6所示的路径都是M到N的“L路径〞。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现方案在x轴上方区域〔包含x轴〕内的某一点P处修建一个文化中心。
〔I〕写出点P到居民区A的“L路径〞长度最小值的表达式〔不要求证明〕；
〔II〕假设以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径〞不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径〞长度值和最小。
21．〔本小题总分值13分〕
过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N〔M，N为圆心〕的公共弦所在的直线记为。
〔I〕假设，证明；；
〔II〕假设点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。
22．〔本小题总分值13分〕，函数。
〔I〕记求的表达式；
〔II〕是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直假设存在，求的取值范围；假设不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．D
4．C
5．B
6．A
7．C
8．D
9．3
10．12
11．
12．3
13．9
14．
15．；
16．〔1〕〔2〕①②③
17．解：〔I〕.
〔II〕
18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近〞。
所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近〞的概率
〔Ⅱ〕三角形共有15个格点。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。
如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
概率P

.
19．解： (Ⅰ)
. (证毕)
〔Ⅱ〕
。
20．解：
(Ⅰ) ,
，其中
〔Ⅱ〕本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的根本知识。
点P到A,B,C三点的“L路径〞长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21；，水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.
所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径〞长度之和d的最小值为45.
21．解： (Ⅰ)
.
所以，成立. (证毕)
〔Ⅱ〕
那么，
.
。
22．解：
(Ⅰ)
〔II〕由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，假设在图像上存在两点满足题目要求，那么P,Q分别在两个图像上，且。
不妨设
所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直。