2014年高考文科数学重庆卷-答案.docx

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷(文史类)答案解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标.
【提示】根据复数的几何意义，即可得到结论.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
2.【答案】B
【解析】将条件全部化成：，解得，于是
【提示】由等差数列中，，且有，利用等差数列的通项公式先求出公差d，再求.
【考点】等差数列的通项公式
3.【答案】A
【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：
【提示】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算值.
【考点】分层抽样方法
4.【答案】D
【解析】利用奇偶性的判断法则：为奇函数；为偶函数即可得到答案为D．
【提示】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析是否成立，即可得答案.
【考点】函数奇偶性的判断
5.【答案】C
【解析】
结束循环.此时输出条件 所以选C.
【提示】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，跳出循环体，计算输出的值.
【考点】程序框图
6.【答案】A
【解析】根据复合命题的判断关系可知，命题为真，命题为假，所以只有为真.
【提示】判定命题，的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论.
【考点】复合命题的真假
7.【答案】C
【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为3，4，5的直角三角形，高为2，上方的四棱锥是底面边长是3的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合.所以.
【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.
【考点】由三视图求面积、体积
8.【答案】D
【解析】由题意，
同除以得或（舍去），从而.
【提示】根据，由双曲线的定义可得，同除以，即可求出双曲线的离心率.
【考点】双曲线的简单性质
9.【答案】D
【解析】，条件足以说明.经过化简得：，即，于是.
【提示】利用对数的运算法则可得，即再利用基本不等式即可得出.
【考点】基本不等式，对数的运算性质
10.【答案】A
【解析】函数的图像如图所示.

在内有且仅有两个不同的零点，可看成函数与直线的交点，又知道该直线过定点.要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间.计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是.
【提示】由，即，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.
【考点】分段函数的应用
二、填空题
11.【答案】
【解析】根据题意，集合，，A、B公共元素为，则.
【考点】交集及其运算
【提示】分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案.
【考点】交集及其运算
12.【答案】10
【解析】由向量的数量积与向量模长公式得.
【提示】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可.
【考点】平面向量数量积的运算
13.【答案】
【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数
的函数图像，由题意得，
所以
【提示】根据函数的图象变换规律，可得，可得，且，由此求得的值，可得的解析式，从而求得的值.
【考点】函数的图象变换
14.【答案】
【解析】将圆的方程转换成标准方程得，圆C的圆心为，半径为3，因为直线与圆C的交点A，B满足，所以为等腰直角三角形，则弦AB的长度为，且C到AB的距离为，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为 ，所以解得.
【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论.
【考点】直线和圆的方程的应用
15.【答案】
【解析】由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是，小王到达学校的时间为，则满足，那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式表示
，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为.
【提示】设小张到达学校的时间是，小王到达学校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可.
【考点】几何概型
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）是首项为1，公差为2的等差数列，
．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
，即，
，即．
又是首项为2的等比数列，
.
【提示】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前项和公式得答案；
（Ⅱ）求出，代入求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前项和公式得答案.
【考点】数列的求和，等差数列的性质
17.【答案】（Ⅰ）由频率分布直方图可知组距为10，，解得.
（Ⅱ）由图可知落在的频率为；由频数=总体频率，从而得到该范围内的人数为，落在范围内的频率为；得该范围内的人数为；
（Ⅲ）记范围内2人分别为；范围内3人分别；
从5人中选2人的情况如下：；
此2人成绩都在范围内共有3种情况，总情况有10种；故概率为
【提示】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在和的频率分别为和，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求.
（Ⅲ）分别列出满足的基本事件，再找到在的事件个数，根据古典概率公式计算即可.
【考点】古典概型及其概率计算公式，频率分布直方图
18.【答案】（Ⅰ）由题意可知：，
由余弦定理得：
（Ⅱ）由可得：，
化简得.
因为，所以.
由正弦定理可知：.又因，故.
由于，所以，从而，解得.
【提示】（Ⅰ）由，根据求出c的长，利用余弦定理表示出，将三边长代入求出的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到，与联立求出的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入求出的值，联立即可求出a与b的值.
【考点】余弦定理，正弦定理
19.【答案】（Ⅰ）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，则，令，解得或.因不在定义域内，故舍去.当时，，故在内为减函数；当时，，故在内为增函数.由此可知在时取得极小值.
【提示】（Ⅰ）由曲线在点处的切线垂直于直线可得，可求出a的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数的单调区间与极值.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
20.【答案】（Ⅰ）因为底面，底面，故.
因为是以为中心的菱形，，所以.
又因为，
所以，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，在中，利用余弦定理可以求得.
设，可得，
又因为，解得，即.

所以四棱锥的体积为
【提示】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，底面，，M为BC上一点，且，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得，进而由线面垂直的判定定理得到；
（Ⅱ）设，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出的值，及四棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，可得答案.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
21.【答案】（Ⅰ）设，其中，由，得，从而，故，从而，
由得，因此，所以，故，，因此，所求椭圆方程为：；
（Ⅱ）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，，是圆的切线，且，，由圆和椭圆的对称性，易知，，，
由（Ⅰ）知，所以，，
由得：，由椭圆方程得，即：，
解得，或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在；
当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心，设，由得，，
由是圆的切线，且，知，又，故圆的半径
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为.

【提示】（Ⅰ）设，依题意，可求得，易求得，从而可得
，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，，是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知，，由，得或，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
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