2019_2020学年九年级数学上册期末考点大串讲中心对称和中心对称图形含解析新版新人教版.docx

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中心对称和中心对称图形
知识网络

重难突破
知识点一 中心对称与中心对称图形
中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个U形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.

中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称
中心对称图形
区别
（1）是针对两个图形而言的.
（2）是指两个图形的（位置）关系.
（3）对称点在两个图形上.
（4）对称中心在两个图形之间.
（1）是针对一个图形而言的.
（2）是指具有某种性质的一个图形.
（3）对称点在一个图形上.
（4）对称中心在图形上.
联系
（1）都是通过把图形旋转重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
典例1 （2019春 南京市期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B.
典例2 （2019·春 武威市期中）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选：D.
典例3 2019春 深圳市期末）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．

知识点二 作中心对称图形的方法
中心对称图形的性质：
Ø 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
Ø 中心对称的两个图形是全等图形.
作中心对称图形的一般步骤（重点）：
Ø 作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.
Ø 把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
典例1 （2019春 长沙市期末）如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位

(1)画出三角形ABC向右平移4个单位所得的三角形A1B1C1．
(2)若连接AA1、CC1，则这两条线段之间的关系是_______．
(3)画出三角形ABC绕点O逆时针旋转180°所得的三角形A2B2C2．
【答案】(1)见解析；(2)平行且相等；(3)见解析.
【详解】(1)见图：

(2)平行且相等；
(3)见图.
典例2 （2019春 成都市期末）如图，在边长为1个单位长度的的小正方形网格中.

（1）将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的；
（2）请画出，使和关于点成中心对称；
（3）直接写出的面积.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3.
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：

（3）.

知识点三 关于原点对称的点的坐标规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
典例1 （2018春 江门市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　）
A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称
B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称
C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称
D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称
【答案】D
【详解】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误；
B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误；
C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误；
D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确；
故选：D．
典例2 （2018春 菏泽市期末）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（　　）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
【答案】C
【详解】点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=-3，n=-2，
故选：C．
典例3 （2019春 莆田市期末）若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　)
A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64
【答案】A
【详解】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选：A．

巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2019春 芜湖市期末）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【名师点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2019春 济南市期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
3．（2019春 济南市期末）已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
4．（2019春 黄石市期中）正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )

A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)
【答案】B
【解析】试题解析：AC=2，
则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，
则OC′=3，
故C′的坐标是（3，0）．
故选B．
5．（2018春 郑州市期末）国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形( )
A． B． C．4 D．0
【答案】D
【解析】选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项B不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项D是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，
故选D．
6．（2018春 德州市期末）已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A.8 B.－8 C.5 D.－5
【答案】B
【详解】∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-8．
故选：B．
【名师点睛】
考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．
7．（2018春 南宁市期中）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【解析】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
故选：C．

8．（2018春 重庆市期末）已知点和关于原点对称，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】A
【解析】试题解析：根据题意得：a-1=-2，b-1=-1，
解得：a=-1 b=0．
则（a+b）2008=1．
故选A．
9．（2018春 哈尔滨市期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
【答案】A
【解析】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=12×40=20cm2，故选A．
10．（2016春 沈阳市期末）将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（ ）
A．（-5，-3） B．（1，-3） C．（-1，-3） D．（5，-3）
【答案】C
【解析】点P（－2，3）向右平移3个单位得到点P1，则P1(1,3)，点P2与点P1关于原点对称，则P2(-1,-3).故选C．

二、填空题（共5小题）
11．（2018春 南阳市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．
【答案】12
【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12，
故答案为：12．
【名师点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
12．（2018春 泸西县期末）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=_______．
【答案】12．
【解析】试题分析：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴ab=2-1=12．故答案为：12．
13．（2017春 东营市期中）已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则（a+b）2002=_____．
【答案】1
【解析】∵M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，
∴a=-4，b=3，
∴.
14．（2018春 长沙市期末）点关于轴对称的点的坐标是________，点关于轴对称的的坐标是________，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】(-2,-3), (2,3), (2,-3)
【详解】点A（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3），关于y轴对称的点的坐标是（2，3），关于原点对称的点是（2，-3）．
故答案为（-2，-3），（2，3），（2，-3）．
【名师点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都为互为相反数．
15．（2018春 南京市期中）抛物线y＝2x2－4x＋5绕它的坐标原点O旋转180°后的二次函数表达式为________．
【答案】y=-2（x+1）2-3
【解析】详解：y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，顶点坐标是(1，3)，二次项系数是2，绕原点旋转180°后的二次函数的顶点是(－1，－3)，二次项系数是－2，所以表示式为y＝－2(x＋1)2－3.
故答案为y＝－2(x＋1)2－3.

三、解答题（共2小题）
16．（2016春 苏州市期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.
(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；
(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．

【答案】(1)画图见解析；（2）（2，-1）.
【解析】试题解析：(1)、△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．

17．（2018春 连云港市期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）画图见解析；（2）（0，2）.
【解析】详解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；

（2）由图可知，△A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称．