2022版新高考数学二轮复习:第二部分-专题七-第2讲-函数与方程、数形结合思想-练典型习题-提数学素养.doc
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1、第2讲函数与方程、数形结合思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系应用一函数与方程思想在不等式中的应用典型例题 设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数m都成立,则x的取值范围为_【解析】问题可以变成关于m的不等式(x21)m(2x
2、1)0在m2,2上恒成立,设f(m)(x21)m(2x1),则即解得x,故x的取值范围为(,)【答案】(,)一般地,对于多变元问题,需要根据条件和要求解的结果,确定一个变量,创设新的函数,求解本题的关键是变换自变量,以参数m作为自变量构造函数式,不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题 对点训练1设0a1,e为自然对数的底数,则a,ae,ea1的大小关系为()Aea1aaeBaeaea1Caeea1aDaea10,则f(x)ex10,所以f(x)在(0,)上是增函数,且f(0)0,f(x)0,所以ex1x,即ea1a.又yax(0aae,从而ea1aae.2关于x的不等式x1a22a0在x(
3、2,)上恒成立,则a_解析:关于x的不等式x1a22a0在x(2,)上恒成立函数f(x)x在x(2,)上的值域为(a22a1,)因为函数f(x)x在(2,)上为增函数,所以f(x)24,即f(x)在(2,)上的值域为(4,),所以a22a14,解得a1或a3.答案:1或3应用二函数与方程思想在数列中的应用典型例题 已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12,且a2,a3,a41成等比数列,求数列an的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值【解】(1)因为a12,aa2(a41),又因为an是正项等差
4、数列,故d0,所以(22d)2(2d)(33d),得d2或d1(舍去),所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1),则.所以bn.令f(x)2x(x1),则f(x)20恒成立,所以f(x)在1,)上是增函数,所以当x1时,f(x)minf(1)3,即当n1时,(bn)max,要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立,则须使k(bn)max,所以实数k的最小值为.(1)本题完美体现函数与方程思想的应用,第(2)问利用裂项相消求bn,构造函数,利用单调性求bn的最大值(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式,因此解决数列最值(
5、范围)问题的方法如下:由其表达式判断单调性,求出最值;由表达式不易判断单调性时,借助an1an的正负判断其单调性 对点训练1设等差数列an的前n项和为Sn,若S42,S50,S63,则nSn的最小值为_解析:由已知得,a5S5S42,a6S6S53,因为数列an为等差数列,所以公差da6a51.又S50,所以a12,故Sn2n,即nSn,令f(n)(n0且nZ),则f(n)n25n,令f(n)0,得n,令f(n)0,得0n0,a1a24,a3a26.(1)求数列an的通项公式;(2)若对任意的nN*,kan,Sn,1都成等差数列,求实数k的值解:(1)因为a1a24,a3a26,所以因为q0,
6、所以q3,a11.所以an13n13n1,故数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知an3n1,Sn,因为kan,Sn,1成等差数列,所以2Snkan1,即2k3n11,解得k3.应用三函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用典型例题 (1)若方程cos2xsin xa0在x上有解,则a的取值范围是_(2)已知a,b,c为平面上三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c|3,ca2,cb1,x,y均为实数,则|cxayb|的最小值为_【解析】(1)法一:把方程cos2xsin xa0变形为acos2xsin x,设f(x)cos2xsin x,x,f(x)(1sin2
7、x)sin x,由x可得sin x,易求得f(x)的值域为(1,1,故a的取值范围是(1,1法二:令tsin x,由x,可得t(0,1依题意得1t2ta0,即方程t2t1a0在t(0,1上有解,设f(t)t2t1a,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线t,如图所示因此,f(t)0在(0,1上有解等价于即所以1b0)经过点,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设点A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆E于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)【解】(1)由题设得解得所以椭圆E的方程为1.(2)设直线CD的方程为xky1,C(x1,y1),D(x2,y2),与
8、椭圆方程1联立得(3k24)y26ky90.所以y1y2,y1y2.所以S四边形OCADSOCASODA2|y1|2|y2|y1y2|(其中t,t1)因为当t1时,y3t单调递增,所以3t4,所以S四边形OCAD3(当k0时取等号),即四边形OCAD面积的最大值为3.几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的求法来求解,这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法 对点训练设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(
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