2022版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：7-函数的单调性与最值-Word版含解析.doc

函数的单调性与最值
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一、选择题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A．y＝－x　　　　　　　 B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex－x
A　[对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]
2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　[由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．]
3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
B　[由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，
故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．]
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
D　[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，
解得≤x＜.]
5．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)
A．－1　　　B．1 C．6　　　D．12
C　[由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在相应的定义域内都为增函数，且f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值为6.]
二、填空题
6．函数f(x)＝－的值域为________．
[－，]　[因为所以－2≤x≤4，
所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．
又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，
所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数，
所以f(4)≤f(x)≤f(－2)，
即－≤f(x)≤.]
7．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
　[由题意知，
解得所以a∈.]
8．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
[0,1)　[由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．]

三、解答题
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
[解](1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(0,1]．
10．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解](1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0,2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.
当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故实数a的取值范围为[－4，－2]．

1．函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，且x∈R，若当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为(　　)
A.　　　B. C．－　　　D．－
A　[因为f(x＋2)＝3f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)．
因为当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，所以当x∈[－4，－2]，即x＋4∈[0,2]时，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋3)2＋，故当x＝－3时，f(x)取得最小值，故选A.]
2．(2019·常州期末)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
1　[依题意，h(x)＝
当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，
当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.]
3．已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2)　[二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，
即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，
∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．]
4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
[解](1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a＞0且方程ax2＋bx＋1＝0中的Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1，即b＝2.
从而f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

1．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f(0)＝0；②f＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．
则f＋f＝________.
　[由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.
由②，令x＝1，可得f＝f(1)＝.
令x＝，可得f＝f＝.
由③结合f＝，可知f＝，
令x＝，可得f＝f＝，
因为＜＜且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，
所以f＝，
所以f＋f＝.]
2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解](1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
当x>1时，f(x)<0，∴f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，
∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.