2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.3幂函数课堂导学案-.doc

2.3 幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数的概念
【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.
（1）y=;(2)y=x-2;
(3)y=;(4)y=x-1;
(5)y=;(6)y=;
(7)y=;(8)y=.

解析：由幂函数的图象规律可得
（1）⑤；（2）③；（3）①；（4）⑦；（5）②；（6）⑨；（7）④；（8）⑥.
温馨提示
幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当0<n<1时，其图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点,其形状如图②所示；当n=1时，其图象为直线.如图③所示；当n>1时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.

（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：

【例2】比较大小：
（1）____________;
(2)0.71.5_____________________0.61.5;
(3)_____________;
(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2;
(5)0.20.6_____________________0.30.4;
(6)_______________.
解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.
由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小.
（5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)=<<.
答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<
温馨提示
利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：
（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.
（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.
（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.
二、幂函数的图象和性质
【例3】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的取值集合是( )
A.{m|m=-1或m=2} B.{m|-1<m<3} C.{2} D.{-1}
思路分析:由幂函数定义,只有具有y=xα形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m2-2m-3<0,由此确定m的取值.
解:由条件知
解得m=2.
答案:C
【例4】若幂函数的图象经过点(4,),则f()=____________________.
思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α.
解:设幂函数为y=xα,点(4,)满足解析式,则=4α,即2-1=22α,
∴α=-.
∴f(x)=,f()==()-1=4.
温馨提示
本题是利用待定系数法确定解析式.
各个击破
类题演练1
幂函数y=xa在第一象限的图象如下图所示，a取2,-2,,-四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）

A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，-
解析：由上面的图象规律可知应选B.
答案：B
变式提升1
(1)如下图，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）

A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0
解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n<m<0,故选A.
答案：A
(2)若幂函数y=xα(α∈R)的图象在0<x<1时，位于直线y=x的上方，则α的范围是______.
解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.
答案：α<1
类题演练2
将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.
（1）,,；
(2),,；
(3),,.
解析：（1）∵=>0,<0,又y=在（0,+∞）上单调递增,
∴<<.
(2)∵>1,0<<1,<0,
∴<<.
(3)=,==,
∵y=在（0，+∞）上单调递减.
又>0.5>0.4
∴<<.
变式提升2
函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.
解析：∵函数f(x)是幂函数，
∴解得∴f(x)=.
∵函数f(x)=在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).
类题演练3
如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1
解析： 解得m=1.
答案：D
变式提升3
已知幂函数y=(m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y的解析式并讨论单调性和奇偶性.
解析：由幂函数的性质知：
m2-2m-3<0，即-1<m<3,又m∈Z
∴m=0,1,2.
当m=0时，y=x-3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x）-3=-x-3，
∴函数y=x-3是奇函数.
当m=1时，y=x-4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x）-4=x-4.故为偶函数.
当m=2时，y=x-3同m=0时的结论.
类题演练4
若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).
解析：设y=xα，则3=9α，
∴α=,
∴y=,
∴f(64)=8.
答案：8
变式提升4
m为何值,y=(m2+2m)为反比例函数.
解析：
解得m=-1或m=0(舍去).
答案：-1