2022-2022学年高中数学课时分层作业5角度问题新人教A版必修5.doc

课时分层作业(五)　角度问题
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为(　　)
A．15°　　 　B．30°　 　　C．45°　 　　D．60°
B　[如图所示，
sin ∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°.]
2．如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于(　　)
A． B． C． D．
A　[由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos ∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos (π－α)，解得cos α＝.
所以sin α＝，所以tan α＝＝.]
3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)
A．28海里/小时 B．14海里/小时
C．14海里/小时 D．20海里/小时
B　[
如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°
＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小时．]
4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
B　[∵AD2＝602＋202＝4 000，
AC2＝602＋302＝4 500，
在△ACD中，由余弦定理得
cos ∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，
∴∠CAD＝45°.]
5．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　)
A．14米 B．15米
C．16米 D．17米
C　[
如图，设DN＝x m，
则142＝102＋x2－2×10×x cos 60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴(x－16)(x＋6)＝0，
∴x＝16或x＝－6(舍)，
∴N与D之间的距离为16米．]
二、填空题
6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为 ．
或2　[x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，解得x＝2或x＝.]
7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km.
30　[
如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km).]
8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球．
7　[设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝.
∴AC＝17－2x＝7(dm)，
或AC＝－(dm)(舍去).
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]
三、解答题
9．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解]　
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，
BC＝10x，
∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cos 120°，解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
10．岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
[解]　(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，
所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.
在△ABC中，由＝
得AB＝＝＝＝5.
答：海监船接到通知时，距离岛A 5海里．
(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，
又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，
所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，所以2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去).
所以CD＝10，所以BC＝CD，
所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°，
所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.
答：海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．
(或答：海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)
1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为(　　)
A．5米　　　B．10米　　　C．15米　　　D．20米
B　[
如图，由题意得，AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD.
设塔高AB＝x，
在Rt△ABC中，
∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝＝x，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos 120°，
∴(x)2＝x2＋100＋10x，
解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.]
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)
A．分钟 B．分钟
C．21.5分钟 D．2.15小时
A　[
如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝28＋.
当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．]
3．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险．
m cos αcos β>n sin (α－β)　[在△ABM中，由正弦定理得
＝，
故BM＝，
要使该船没有触礁危险需满足
BM sin (90°－β)＝>n.
∴当α与β满足m cos αcos β>n sin (α－β)时，该船没有触礁危险．]
4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝ ．
　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.
由正弦定理＝⇒
sin ∠ACB＝·sin ∠BAC＝，
∠BAC＝120°，
则∠ACB为锐角，cos ∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos (∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB·cos 30°－sin ∠ACB·sin 30°＝.]
5．如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
[解]　
设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．
如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．
在△OBC中，由题意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，所以∠BCO＝90°.
因为BO＝120，
所以BC＝60，OC＝60.
故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.
在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2).
由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC cos ∠COD，所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.
解得x＝3或x＝，
因为x>1，所以x＝3.
所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．