2022年高考真题——数学(文)(天津卷)-Word版含答案.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·球的体积公式.其中表示球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，则
（A）（B）（C）（D）
（2）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
（A）（B）（C）（D）
（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为

（A）0 （B）1（C）2（D）3
（5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为
（A）（B）（C）（D）
（6）已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为
（A）（B）（C）（D）
（7）设函数，其中.若且的最小正周期大于，则
（A）（B）（C）（D）
（8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .
（10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
（12）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
（13）若a，，，则的最小值为 .
（14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（I）求的值；
（II）求的值.
（16）（本小题满分13分）
电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）
已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
（19）（本小题满分14分）
设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案
（1）B （2）B （3）C （4）C
（5）D （6）C （7）A （8）A
（9）−2 （10）1 （11）
（12） （13）4 （14）
（15）（Ⅰ）解：由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
16.（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为.
考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.
解方程组得点M的坐标为.
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
18.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.
由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
.
得.
所以，数列的前项和为.
19.【解析】（I）由，可得
，
令，解得，或.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（II）（i）因为，由题意知，
所以，解得.
所以，在处的导数等于0.
（ii）因为，，由，可得.
又因为，，故为的极大值点，由（I）知.
另一方面，由于，故，
由（I）知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.
由，得，.
令，，所以，
令，解得（舍去），或.
因为，，，故的值域为.
所以，的取值范围是.

（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.
由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.
（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.
由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.
因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.
所以，椭圆的方程为.