2022-2022学年高中数学课时分层作业7等比数列的性质北师大版必修5.doc

课时分层作业(七)　等比数列的性质
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
D　[由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．]
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．　　 D．
C　[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，所以a3a6＋a4a5＝．]
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　　)
A．10 B．25
C．50 D．75
B　[法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝52＝25．
法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25．]
4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于(　　)
A．32 B．16
C．12 D．8
B　[＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(23)＝24＝16．]
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝(　　)
A．8 B．4
C．16 D．12
A　[因为a3a11＝4a7＝a，∴a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，故b7＝a7＝4＝(b5＋b9)，即b5＋b9＝8．]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．
　[因为a6a10＝a，a3a5＝a，
所以a＋a＝41．
又因为a4a8＝5，an>0，
所以a4＋a8＝
＝＝．]
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________________．
3或27　[设此三数为3，a，b，
则
解得或所以这个未知数为3或27．]
8．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值是________．
　[由题意可得所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝．]
三、解答题
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．
[解]　由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4,2,8．
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4．
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
所以d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8．
10．已知{an}为等比数列．
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，
∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5．
(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．
1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　)
A．32 B．34
C．66 D．64
C　[依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66，故选C．]
2．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)
A． B．或
C． D．以上都不对
B　[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，
∴等比数列为，x1，x2,4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴＝＝．
若设是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3，则＝．]
3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
2n　[∵{an}单调递增，∴q＞0，又a＝a10＞0，
∴an＞0，q＞1，
由条件得2＝5，
即2＝5，∴q＝2或q＝(舍)，
由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2，故an＝2n．]
4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
－　[因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－．]
5．在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{(－1)nbn}的前n项和Tn．
[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝9a2a6＝9a，
所以q2＝＝，因为an>0，
所以q>0，所以q＝，
因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，
所以3a1＝1，a1＝，
所以an＝．
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝log3(a1·a2·…·an)
＝log3＝－．
设数列的前n项和为Sn，
则Sn＝－2
＝－2
＝－2＝－．