高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题09平面向量.doc

专题09 平面向量

平面向量的坐标运算
【背一背基础知识】
1.平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．
②设＝xi＋yj，则 向量的坐标就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．
2．向量的运算
(1)加法、减法、数乘运算
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
其中b≠0，则a与b共线a=b．.
4．平面向量的有关运算
(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.
两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.
【讲一讲基本技能】
1. 必备技能：
(1) 向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同．
(2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．
2. 典型例题
例1已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C

例2．若向量，，，则＝________.
【答案】
【解析】设B(x，y)，由，可得，①＝x－3y＝0，②由①②得x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1，所以B(3,1)或B(－3，－1)，故或，，故答案为.
例3.设平面向量= .
【答案】
【解析】
试题分析:由题知1×（-2）+2y=0,解得=1，∴=（1,7），∴||==.
【练一练趁热打铁】
1.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　)
A. －1　　　 B. 3 C. －　　　 D.
答案：D
2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　)．
A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3)
【答案】B
【解析】由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.

平面向量的数量积

【背一背基础知识】
1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.
2．平面向量数量积的意义
(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ， 则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，
即a·b＝|a|·|b|· cosθ
. 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
3．向量数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝a|cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇒a·b＝0 且a·b＝0⇒a⊥b.
(3)a·a＝|a|2 ，|a|＝. (4)cos〈a，b〉＝. (5)|a·b||a||b|.
4．数量积的运算律
(1)交换律a·b＝b·a. (2)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb) ．
5．数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
(1)a·b＝. (2)a⊥b⇔. (3)|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
（1） 数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不能得得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.
（2）若a、b、c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（3） 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
①|a|2＝a2＝a·a；
②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
（4）已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则
①a·b>0⇔0°<θ<90°；
②a·b＝0⇔θ＝90°；
③a·b<0⇔90°<θ<180°.
特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线．
（5） 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
（6）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
（7）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
2.典型例题
例1已知平面向量，满足，，且，则与的夹角是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D

例2已知，若，则（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】D.
【解析】由得到，得,因此.
例3．中，，点M在边AB上，且满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【练一练趁热打铁】
1.已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝__________.
【答案】3
【解析】由题意知|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝－12e1·e2＝9＋4－＝9.故|a|＝3.
2.已知向量与的夹角为，且，若，，且，则实数的值为_____.
【答案】

（一） 选择题（12*5=60分）
1.已知平面向量，，与垂直，则是（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：，由与垂直得，.
2.向量、的夹角为，且，，则等于 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】
【解析】，选.
3.已知平面向量，，若∥，
则等于( )
A． 　　B． 　　　　C． 　　D．
【答案】A
【解析】由∥得，，.
4. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 （ ）
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】C

5.若平面四边形满足则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
6.若向量=（1，1），=（1，－1），=（－1，2），则等于（　 ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题只能一个一个验证，，A错，当然此时就可看出B正确了.
7.已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .
【答案】

8.已知向量，，若，则=（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】B
【解析】由.故选B.
9.已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】 ,选A.
10.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（ ）
A．4 B．6 C．4 D．16
【答案】C
11.设为单位向量.且的夹角为，若则向量在方向上的射影为____.
【答案】
【解析】
12.已知，则向量与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，所以，所以，选D．
（二） 填空题（4*5=20分）
13. 在中，，，，则 .
【答案】.
14.已知向量，若，则　　　　　　。
【答案】5
【解析】，那么由得，，解得.
15.已知向量的模为1，且满足，则在方向上的投影等于 .
【答案】-3

16.设向量，，其中，若，则 .
【答案】
【解析】 两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.
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