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2017年上海市松江区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（　　）
A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα
2．（4分）下列抛物线中，过原点的抛物线是（　　）
A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1
3．（4分）小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（　　）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
4．（4分）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是 （　　）
A．∥，∥ B． C．= D．=，=
5．（4分）如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，则的值为　　．
8．（4分）计算：（﹣3）﹣（+2）=　　．
9．（4分）已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是　　．
10．（4分）把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为　　．
11．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是　　．
12．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=　　．

13．（4分）已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1　　y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
14．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线　　．
15．（4分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为　　．
16．（4分）在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为　　米．（结果保留根号）
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为　　．

18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=，=．
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）求作向量在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

21．（10分）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

22．（10分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．

24．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

25．（14分）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

2017年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）（2017•松江区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（　　）
A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴cotA=，
∵BC=2，∠A=α，
∴AC=2cotα，
故选D．

2．（4分）（2017•松江区一模）下列抛物线中，过原点的抛物线是（　　）
A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1
【解答】解：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；
B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；
C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；
D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；
故选：C．

3．（4分）（2017•松江区一模）小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（　　）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，
∴1.5：2=教学大楼的高度：60，
解得教学大楼的高度为45米．
故选A．

4．（4分）（2017•松江区一模）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是 （　　）
A．∥，∥ B． C．= D．=，=
【解答】解：A、∥，∥，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；
C、=，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
D、=，=，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
故选：B．

5．（4分）（2017•松江区一模）如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵AD∥BC
∴=，故A正确；
∵CD∥BE，AB=CD，
∴△CDF∽△EBC
∴=，故B正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△EBC
∴=，故D正确．
∴C错误．
故选C．

6．（4分）（2017•松江区一模）如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴=，
∴=，∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，
∵cosA==，
∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，
故选B．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2017•松江区一模）已知，则的值为　　．
【解答】解：∵=，
∴b=a，
∴==．
故答案为：．

8．（4分）（2017•松江区一模）计算：（﹣3）﹣（+2）=　　．
【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．
故答案是：．

9．（4分）（2017•松江区一模）已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是　k＜1　．
【解答】解：
∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，
∴k﹣1＜0，解得k＜1，
故答案为：k＜1．

10．（4分）（2017•松江区一模）把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为　y=（x﹣4）2　．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．
故答案为：y=（x﹣4）2．

11．（4分）（2017•松江区一模）已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是　8　．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，
∴sinA=，即=，
解得：AB=8，
故答案为：8

12．（4分）（2017•松江区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=　　．

【解答】解：∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BD=，
∴DF=，
故答案为：．

13．（4分）（2017•松江区一模）已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1　＞　y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
【解答】解：当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；
当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；
∵﹣3＞﹣24，
∴y1＞y2．
故答案为：＞

14．（4分）（2017•松江区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线　x=2　．
【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，
∴对称轴为x==2，
故答案为：x=2．

15．（4分）（2017•松江区一模）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为　2　．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD==3，
∵中线BE与高AD相交于点G，
∴点G为△ABC的重心，
∴AG=3×=2，
故答案为：2

16．（4分）（2017•松江区一模）在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为　5+5　米．（结果保留根号）
【解答】解：作CF⊥AB于点F．
根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．
在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．
则AB=AF+BF=5+5米
故答案为：5+5．

17．（4分）（2017•松江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为　　．

【解答】解：设CE=x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x=．
故答案为：．

18．（4分）（2017•松江区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为　4　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，
∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，
∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，
∴AE=2AN=4．
故答案为4．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）（2017•松江区一模）计算：．
【解答】解：原式=
=
=
=．

20．（10分）（2017•松江区一模）如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=，=．
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）求作向量在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【解答】解：（1）∵，
∴
∵，
∴
∵，且
∴；

（2）解：如图，

所以，向量、即为所求的分向量．

21．（10分）（2017•松江区一模）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵AC∥BD，
∴
∵AC=6，BD=4，
∴
∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，
∴，
∴．
∴EF∥BD，
∴，
∴，
∴

（2）∵AC∥BD，EF∥BD，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴．
∵，
∴．
∵S△BEF=4，
∴，
∴S△ABC=25．

22．（10分）（2017•松江区一模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【解答】解：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，
在Rt△ABG中，，
∵BG=2.26，tan20°≈0.36，
∴，
∴AB≈6.3，
答：A、B之间的距离至少要6.3米．
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，
∵AE和FC的坡度为1：2，
∴，
设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，
∵EF∥DC，
∴CQ=PD=8﹣x，
∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，
在Rt△ACD中，，
∵AD=8，∠ACD=20°，
∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，
∴2x+EF+16﹣2x=22.22，
∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米．

23．（12分）（2017•松江区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．

【解答】证明：（1）∵AC2=CE•CB，
∴．
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD

（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB．

24．（12分）（2017•松江区一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，
∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，
∴点E（2，3），
过点E作EH⊥BC于点H，
∵OC=OB=3，
∴BC=，
∵，CE=2，
∴，
解得EH=，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=，
∴BH=2，
∴在Rt△BEH中，；
（3）当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴，
∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB与△BEC相似，
∴或，
①，
∵DM=4﹣m，，，
∴，
解得，，
∴点M（1，）
②，则，
解得m=﹣2，
∴点M（1，﹣2），
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．
综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．

25．（14分）（2017•阳谷县一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，，AB=16，
∴AD=12∴；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x﹣12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，，
∵，
∴，
∴，定义域为0＜x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，
①当BE=BD时
∵BD=20，
∴BE=20
②当DE=DB时，
∵DC⊥BE，
∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③当EB=ED时，
作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，
即
∴，
解得：BE=；
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．

参与本试卷答题和审题的老师有：zjx111；三界无我；lanchong；nhx600；CJX；弯弯的小河；星期八；Ldt；sks；王学峰；733599；1987483819；zhjh；ZJX；HLing；gbl210；wd1899；知足长乐；家有儿女（排名不分先后）
菁优网
2017年4月8日
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