2022-2022学年高中数学章末综合测评2解三角形北师大版必修5.doc

章末综合测评(二)　解三角形
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，下列关系式①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C，一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C　[由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，显然成立；④中由正弦定理得sin B＝2sin AsinC，未必成立．]
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝bc且＝2，则A等于(　　)
A． B．
C． D．
A　[由＝2，得＝2，∴＝2，即c＝2b，把c＝2b代入a2－b2＝bc，得a＝b，∴cos A＝＝＝．又A∈(0，π)，则A＝．]
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　)
A． B．(10，＋∞)
C．(0,10) D．
D　[由正弦定理可知c＝＝sin C，因为0＜sin C≤1，所以0＜c≤，即c∈，故选D．]
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝＝．]
5．已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则A等于(　　)
A．30°或150° B．30°或60°
C．60°或120° D．60°或150°
A　[由正弦定理得sin A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝30°或150°．]
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)
A． B．
C． D．3
B　[由题意得cos A＝＝，
∴sin A＝＝，
∴边AC上的高h＝ABsin A＝．]
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
A　[由asin A－bsin B＝4csin C，得a2－b2＝4c2，∵cos A＝－，∴＝cos A＝－，∴＝－，∴＝6．]
8．在△ABC中，A＝，a＝，b＝4，则满足条件的△ABC(　　)
A．不存在 B．有一个
C．有两个 D．不确定
A　[由正弦定理＝，
∴sin B＝＝＝>1，
∴ B不存在．]
9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D向北偏东30°前进100 m到达点C，在C点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
A　[如图，AB为水柱，高度设为h，D在A的正西方向，C在D的北偏东30°方向．且CD＝100 m，∠ACB＝30°，
∠ADB＝45°．
在△ABD中，AD＝h，
在△ABC中，AC＝h．
在△ACD中，∠ADC＝60°，
由余弦定理得
cos 60°＝＝，
∴h＝50或－100(舍)．]
10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)
A．10 B．9
C．8 D．5
D　[由倍角公式得23cos2 A＋cos 2A＝25cos2A－1＝0，cos2 A＝，△ABC为锐角三角形cos A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2－b－13＝0．
即5b2－12b－65＝0，
解方程得b＝5．]
11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A．1＋ B．
C． D．2＋
A　[由已知acsin 30°＝，2b＝a＋c，
∴ac＝6，∴b2＝a2＋c2－2accos 30°
＝(a＋c)2－2ac－ac
＝4b2－12－6，
∴b＝＋1．]
12．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
B　[∵2acos B＝c，∴2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0．∴A＝B．
又∵sin Asin B(2－cos C)
＝sin2＋，
∴sin Asin B＝sin2＋，
∴2sin Asin B＝sin2＋，
∴2sin Asin B＝1，
即sin2 A＝，
∵0<A<，∴sin A＝．
∴A＝＝B，
∴C＝π－－＝．]
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ ．
4　[∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b．
又a＝2，∴b＝3．
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C．
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16．
∴c＝4．]
14．在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，·＝ ．
－16　[法一　·＝(＋)·(＋)
＝||2－||2＝9－5×5＝－16．
法二　特例法，假设△ABC是以AB，AC为腰的等腰三角形，如图所示，AM＝3，BC＝10，则AB＝AC＝，
cos∠BAC＝＝－，
·＝||·||·cos∠BAC＝－16．]
15．在△ABC中，已知BC＝3，AB＝10，AB边上的中线为7，则△ABC的面积为 ．
　[如图，设△ABC中AB边上的中线为CD．
则在△BCD中，BC＝3，BD＝5，CD＝7，
∴cos B＝＝－，
又∵B∈(0°，180°)，
∴B＝120°，
∴sin B＝，
∴S△BCD＝BC·BD·sin B＝×3×5×＝，
∴S△ABC＝2S△BCD＝．]
16．某人在C点测得塔AB在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为 ．
10米　[画出示意图，如图所示，
CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO，
令AB＝x，则BC＝x，BO＝x，
在△BCO中，由余弦定理，得
(x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，
整理得x2－5x－50＝0，
解得x＝10，x＝－5(舍去)，
故塔高为10米．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
[解]　结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为
·b＝b－c··a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝．
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．
[解]　(1)∵cos B＝>0，且0<B<π，
∴sin B＝＝．
由正弦定理得＝，
所以sin A＝sin B＝．
(2)∵S△ABC＝acsin B＝c＝4，∴c＝5．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
＝22＋52－2×2×5×＝17，
∴b＝．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理，得
＝⇒＝＝
，
∴cos A＝．
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A⇒32＝(2)2＋c2－2×2c×，
则c2－8c＋15＝0．
∴c＝5或c＝3．
当c＝3时，a＝c，∴A＝C．
由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．
∴c＝3舍去．故c的值为5．
20．(本小题满分12分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
[解]　设我艇追上走私船所需时间为t小时，且我艇在C处追上走私船，则BC＝10t，AC＝14t，
在△ABC中，∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，AB＝12，
根据余弦定理得(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，∴t＝2小时(t＝－舍去)．
所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2·cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－．
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求在方向上的射影．
[解]　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)·sin B＋cos(A＋C)＝－，
得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)·sin B－cos B＝－，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－．
(2)由cos A＝－，＜A＜π，得sin A＝．由正弦定理有＝，
所以sin B＝＝．由题意知a>b，则A>B，故B＝．
根据余弦定理有(4)2＝52＋c2－2×5×c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．
又∵cos B＝cos ＝，
故在方向上的射影为||cos B＝．
22．(本小题满分12分)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B＋sin2A＝sin2C．
(1)求证：＝sin A；
(2)若B为钝角，且△ABC的面积S满足S＝(bsin A)2，求A．
[解]　(1)证明：由sin Asin B＋sin2A＝sin2 C，
得ab＋a2＝c2，
∴c2＝a(a＋b)，
∴＝，
如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD＝AC＝b，连接AD，
则△ABC∽△DBA．
∴∠D＝∠BAC，
又∠ACB＝2∠D，
则∠ACB＝2∠BAC，
∴sin∠ACB＝2sin ∠BACcos∠BAC，
∴＝sin ∠BAC．
因此，结论成立．
(2)由S＝(bsin A)2，
得bcsin A＝(bsin A)2，
∴c＝2bsin A，
∴sin C＝2sin Bsin A，
由(1)知，sin C＝2sin Acos A，
∴cos A＝sin B，
∴cos A＝cos－B＝cosB－．
又A，B－∈0，，
则A＝B－，
又C＝2A，
∴A＋A＋＋2A＝π，
∴A＝．
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