高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题10等差数列与等比数列.doc
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1、专题10 等差数列与等比数列等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是.3等差中项如果,那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的前n项和(1)公式的推导:等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的(2)等差数列an的前n项和公式:【讲一讲基本技能】1. 必备技能:(1)等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用定义,anan1d(常数)(n2),第二种是利用等差中项,即2anan
2、1an1(n2)(2)解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即anAnB(A、B是常数),则an是等差数列前n项和法:若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A,B是常数),则an为等差数列(3)等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证明,都可围绕a1和d进行(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件,可以通过列方程求出a1,d.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题这体现了用方程的思想解决问题2. 典型例题例1已知数列为等差数列,且,则( )(A)45 (B)43 (C)42 (
3、D)40分析:本题考查等差数列的通项公式,只要把用表示出来,解出,再利用通项公式就可求得.解析:, .例2 已知等差数列中,记,S13=( )A78 B68 C56 D52分析:从已知条件分析,可用基本量法解决问题,即由,可解出.【练一练趁热打铁】1.若是等差数列的前项和,且,则的值为 【答案】44 2. 在等差数列中,已知,则_.【答案】【解析】依题意,所以. 或:.等差数列的性质【背一背基础知识】1.等差数列an的常用性质(1)通项推广:anam(nm)d(d为数列an的公差)(2)若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特别地:a1ana2an1a3an2.(3)项数成等差
4、数列,则相应的项也成等差数列,即若mn2p,则aman2ap.(4)Sk,S2kSk,S3kS2k,构成等差数列,公差为k2d.(5)Snnnn.2等差数列的前n项和公式与函数的关系(1)等差数列前n项和公式Snna1d可化为:Snn2(a1)n.数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的常数项为零的二次函数,即.(2)在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值【讲一讲基本技能】1.必备技能:(1)等差数列an的通项公式ana1(n1)ddna1d,d0时,an是n的一次函数当d0时,an为递增数列,当d0,则数列递增若d0,则数列递减若d
5、0,则数列为常数列(4)等差数列的简单性质已知数列an是等差数列,Sn是其前n项和若mnpq,则amanapaq,特别:若mn2p,则aman2ap.am,amk,am2k,am3k,仍是等差数列,公差为kd.数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列,公差为m2d.S2n1(2n1)an.若n为偶数,则S偶S奇d.若n为奇数,则S奇S偶a中(中间项)数列can,can,panqbn也是等差数列,其中c、p、q均为常数,bn是等差数列公差不为0的等差数列,求其前n项和的最值,一是把Sn转化成n的二次函数求最值;二是由an0或an0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n,代入前
6、n项和公式求最值2.典型例题例1在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176分析:利用等差数列的性质可得,则有.解析:在等差数列中,答案为B例2等差数列中,若,则=_.分析:直接由等差数列的性质可得,则,又,得,所以,所以.【练一练趁热打铁】1. 在等差数列中,若,则的值为()A20B22 C24D28【答案】C【解析】由等差数列性质知,故,而.2设等差数列的前项和为,且,则使得的最小的为( ) A10 B 11 C 12 D 13【答案】等比数列的概念与运算【背一背基础知识】1等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项
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