2022版江苏高考数学一轮复习讲义:第8章-第6节-双曲线-Word版含答案.doc
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1、第六节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0,c0.当2a|F1F2|时,M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRya或ya,xR对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a
2、)渐近线yxyx离心率e,e(1,)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|.(6)双曲线的离心率公
3、式可表示为e.一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若双曲线1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()A.B5C.D2A由题意可知b2a,e,故选A.2以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 ()Ax21 B.y21Cx21 D.1A设所求的双曲线方程为1(a0,b
4、0),由椭圆1,得椭圆焦点为(1,0),在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0). 所以a1,c2,所以b2c2a23,所以双曲线标准方程为x21.3若方程1表示双曲线,则m的取值范围是 (,2)(1,)因为方程1表示双曲线,所以(2m)(m1)0,即m1或m2.4已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于 6设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|4,则|PF1|PF2|2,故|PF2|6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1,故|PF2|6.考点1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的
5、距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题(1)已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (2)已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为 (3)已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2 .(1)x21(x1)(2)9(3)(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|
6、MB|.因为|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(2)设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|4|PF1|,所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图象,可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|PA|最小,|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5,故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的
7、定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,所以|PF1|2|PF2|4,所以cosF1PF2.母题探究1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2,|PF1|PF2|8,SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,0,在F1PF2中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2
8、|216,|PF1|PF2|4,SF1PF2|PF1|PF2|2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系1.虚轴长为2,离心率e3的双曲线的两焦点为F1,F2,过F1作直线交双曲线的一支于A,B两点,且|AB|8,则ABF2的周长为()A3 B16C12 D24B由于2b2,e3,b1,c3a,9a2a21,a.由双曲线的定义知,|AF2|AF1|2a,|BF2|BF1|,得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|),又|AF1|BF1|AB|8,|AF2|BF2|8,则ABF2的周长为16,故选B.2(2019洛
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