2022年湖北省武汉市中考数学试卷解析.docx

2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕以下各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．〔3分〕〔2022•武汉〕在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是〔　　〕

A．
﹣3
B．
0
C．
5
D．
3
2．〔3分〕〔2022•武汉〕假设代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是〔　　〕

A．
x≥﹣2
B．
x＞﹣2
C．
x≥2
D．
x≤2
3．〔3分〕〔2022•武汉〕把a2﹣2a分解因式，正确的选项是〔　　〕

A．
a〔a﹣2〕
B．
a〔a+2〕
C．
a〔a2﹣2〕
D．
a〔2﹣a〕
4．〔3分〕〔2022•武汉〕一组数据3，8，12，17，40的中位数为〔　　〕

A．
3
B．
8
C．
12
D．
17
5．〔3分〕〔2022•武汉〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
2a2﹣4a2=﹣2
B．
3a+a=3a2
C．
3a•a=3a2
D．
4a6÷2a3=2a2
6．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，在直角坐标系中，有两点A〔6，3〕，B〔6，0〕，以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为〔　　〕

A．
〔2，1〕
B．
〔2，0〕
C．
〔3，3〕
D．
〔3，1〕
7．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

8．〔3分〕〔2022•武汉〕下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，以下说法错误的选项是〔　　〕

A．
4：00气温最低
B．
6：00气温为24℃

C．
14：00气温最高
D．
气温是30℃的时刻为16：00
9．〔3分〕〔2022•武汉〕在反比例函数y=图象上有两点A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，x1＜0＜x2，y1＜y2，那么m的取值范围是〔　　〕

A．
m＞
B．
m＜
C．
m≥
D．
m≤
10．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是〔　　〕

A．
2﹣
B．
+1
C．

D．
﹣1
二、填空题〔共6小题，每题3分，共18分〕请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．〔3分〕〔2022•武汉〕计算：﹣10+〔+6〕=．
12．〔3分〕〔2022•武汉〕中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为．
13．〔3分〕〔2022•武汉〕一组数据2，3，6，8，11的平均数是．
14．〔3分〕〔2022•武汉〕如下列图，购置一种苹果，所付款金额y〔元〕与购置量x〔千克〕之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，那么一次购置3千克这种苹果比分三次每次购置1千克这种苹果可节省元．
15．〔3分〕〔2022•武汉〕定义运算“*〞，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，那么2*3=．
16．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是．
三、解答题〔共8小题，共72分〕以下各题解容许写出文字说明，证明过程或演算过程．
17．〔8分〕〔2022•武汉〕一次函数y=kx+3的图象经过点〔1，4〕．
〔1〕求这个一次函数的解析式；
〔2〕求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
18．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
〔1〕△ABC≌△DEF；
〔2〕AB∥DE．
19．〔8分〕〔2022•武汉〕一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．
〔1〕随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3〞的概率；
〔2〕随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出以下结果：
①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．
20．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，点A〔﹣4，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
〔1〕请直接写出点C、D的坐标；
〔2〕写出从线段AB到线段CD的变换过程；
〔3〕直接写出平行四边形ABCD的面积．
21．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
〔1〕求证：AT是⊙O的切线；
〔2〕连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
22．〔10分〕〔2022•武汉〕锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
〔1〕如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
〔2〕假设AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
23．〔10分〕〔2022•武汉〕如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．
〔1〕求证：EF+PQ=BC；
〔2〕假设S1+S3=S2，求的值；
〔3〕假设S3+S1=S2，直接写出的值．
24．〔12分〕〔2022•武汉〕抛物线y=x2+c与x轴交于A〔﹣1，0〕，B两点，交y轴于点C．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E〔m，n〕是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，假设∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围〔利用图1完成你的探究〕．
〔3〕如图2，点P是线段OB上一动点〔不包括点O、B〕，PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
2022年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕以下各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．〔3分〕〔2022•武汉〕在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是〔　　〕

A．
﹣3
B．
0
C．
5
D．
3
考点：
实数大小比较．菁优网版权所有
分析：
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解答：
解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜0＜3＜5，
所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．
应选：A．
点评：
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．〔3分〕〔2022•武汉〕假设代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是〔　　〕

A．
x≥﹣2
B．
x＞﹣2
C．
x≥2
D．
x≤2
考点：
二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析：
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答：
解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
应选：C．
点评：
此题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．〔3分〕〔2022•武汉〕把a2﹣2a分解因式，正确的选项是〔　　〕

A．
a〔a﹣2〕
B．
a〔a+2〕
C．
a〔a2﹣2〕
D．
a〔2﹣a〕
考点：
因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解答：
解：原式=a〔a﹣2〕，
应选A．
点评：
此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解此题的关键．
4．〔3分〕〔2022•武汉〕一组数据3，8，12，17，40的中位数为〔　　〕

A．
3
B．
8
C．
12
D．
17
考点：
中位数．菁优网版权所有
分析：
首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判断出这组数据的中位数为多少．
解答：
解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得
3，8，12，17，40，
所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．
应选：C．
点评：
此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．〔3分〕〔2022•武汉〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
2a2﹣4a2=﹣2
B．
3a+a=3a2
C．
3a•a=3a2
D．
4a6÷2a3=2a2
考点：
整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法那么计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式除以单项式法那么计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：A、原式=﹣2a2，错误；
B、原式=4a，错误；
C、原式=3a2，正确；
D、原式=2a3，错误．
应选C．
点评：
此题考查了整式的除法，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
6．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，在直角坐标系中，有两点A〔6，3〕，B〔6，0〕，以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为〔　　〕

A．
〔2，1〕
B．
〔2，0〕
C．
〔3，3〕
D．
〔3，1〕
考点：
位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
分析：
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据数据可以求出点C的坐标．
解答：
解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：〔2，1〕，
应选：A．
点评：
此题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
7．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
解答：
解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
应选：B．
点评：
此题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
8．〔3分〕〔2022•武汉〕下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，以下说法错误的选项是〔　　〕

A．
4：00气温最低
B．
6：00气温为24℃

C．
14：00气温最高
D．
气温是30℃的时刻为16：00
考点：
折线统计图．菁优网版权所有
分析：
根据观察函数图象的横坐标，可得时间，根据观察函数图象的纵坐标，可得气温．
解答：
解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；
B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；
C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；
应选：D．
点评：
此题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如气温变化图．
9．〔3分〕〔2022•武汉〕在反比例函数y=图象上有两点A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，x1＜0＜x2，y1＜y2，那么m的取值范围是〔　　〕

A．
m＞
B．
m＜
C．
m≥
D．
m≤
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2那么判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．
解答：
解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
应选B．
点评：
此题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．
10．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是〔　　〕

A．
2﹣
B．
+1
C．

D．
﹣1
考点：
旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，那么有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．
解答：
解：连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO===，OM=AC=1，
那么BM=BO﹣OM=﹣1．
应选D．

点评：
此题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决此题的关键．
二、填空题〔共6小题，每题3分，共18分〕请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．〔3分〕〔2022•武汉〕计算：﹣10+〔+6〕=　﹣4　．
考点：
有理数的加法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式利用异号两数相加的法那么计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣〔10﹣6〕=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
12．〔3分〕〔2022•武汉〕中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　3.7×105．
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n〔1≤|a|＜10，n为整数〕中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
解答：
解：370 000=3.7×105，
故答案为：3.7×105．
点评：
此题主要考查了科学计数法：熟记规律：〔1〕当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；〔2〕当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0是解题的关键．
13．〔3分〕〔2022•武汉〕一组数据2，3，6，8，11的平均数是　6　．
考点：
算术平均数．菁优网版权所有
分析：
首先求出2，3，6，8，11的和是多少；然后用2，3，6，8，11的和除以5，求出一组数据2，3，6，8，11的平均数是多少即可．
解答：
解：〔2+3+6+8+11〕÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．
故答案为：6．
点评：
此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对于n个数x1，x2，…，xn，那么=〔x1+x2+…+xn〕就叫做这n个数的算术平均数．
14．〔3分〕〔2022•武汉〕如下列图，购置一种苹果，所付款金额y〔元〕与购置量x〔千克〕之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，那么一次购置3千克这种苹果比分三次每次购置1千克这种苹果可节省　2　元．
考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．
解答：
解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，
1千克苹果的价钱为：y=10，
设射线AB的解析式为y=kx+b〔x≥2〕，
把〔2，20〕，〔4，36〕代入得：，
解得：，
∴y=8x+4，
当x=3时，y=8×3+4=28．
当购置3千克这种苹果分三次分别购置1千克时，所花钱为：10×3=30〔元〕，
30﹣28=2〔元〕．
那么一次购置3千克这种苹果比分三次每次购置1千克这种苹果可节省2元．
点评：
此题考查了一次函数的应用，解决此题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数解析式．
15．〔3分〕〔2022•武汉〕定义运算“*〞，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，那么2*3=　10　．
考点：
解二元一次方程组．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
解答：
解：根据题中的新定义化简等式得：，
解得：a=1，b=2，
那么2*3=4a+3b=4+6=10，
故答案为：10．
点评：
此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解此题的关键．
16．〔3分〕〔2022•武汉〕如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是．
考点：
轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
分析：
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
解答：
解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′==．
故答案为．

点评：
此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
三、解答题〔共8小题，共72分〕以下各题解容许写出文字说明，证明过程或演算过程．
17．〔8分〕〔2022•武汉〕一次函数y=kx+3的图象经过点〔1，4〕．
〔1〕求这个一次函数的解析式；
〔2〕求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
考点：
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把x=1，y=4代入y=kx+3，求出k的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．
〔2〕首先把〔1〕中求出的k的值代入kx+3≤6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可．
解答：
解：〔1〕∵一次函数y=kx+3的图象经过点〔1，4〕，
∴4=k+3，
∴k=1，
∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．

〔2〕∵k=1，
∴x+3≤6，
∴x≤3，
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．
点评：
〔1〕此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
〔2〕此题还考查了一元一次不等式的解法，要熟练掌握，根本操作方法与解一元一次方程根本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
18．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
〔1〕△ABC≌△DEF；
〔2〕AB∥DE．
考点：
全等三角形的判定与性质；平行线的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
〔1〕由SAS容易证明△ABC≌△DEF；
〔2〕由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B=∠DEF，即可得出结论．
解答：
证明：〔1〕∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF〔SAS〕；
〔2〕∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．〔8分〕〔2022•武汉〕一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．
〔1〕随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3〞的概率；
〔2〕随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出以下结果：
①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．
考点：
列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4直接利用概率公式求解即可求得答案；
〔2〕①首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：〔1〕∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3〞的概率为：；

〔2〕画树状图得：

那么共有16种等可能的结果；
①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，
∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为：=；

②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为：．
点评：
此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，点A〔﹣4，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
〔1〕请直接写出点C、D的坐标；
〔2〕写出从线段AB到线段CD的变换过程；
〔3〕直接写出平行四边形ABCD的面积．
考点：
平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；
〔2〕利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；
〔3〕利用SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．
解答：
解：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A〔﹣4，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，
∴C〔4，﹣2〕，D〔1，2〕；

〔2〕线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；

〔3〕由〔1〕得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
∴SABCD=5×4=20．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出SABCD的可以转化为矩形面积是解题关键．
21．〔8分〕〔2022•武汉〕如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
〔1〕求证：AT是⊙O的切线；
〔2〕连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
考点：
切线的判定；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；
〔2〕作CD⊥AT于D，设OA=x，那么AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=〔﹣1〕x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=〔1﹣〕x，AD=2x﹣2〔1﹣〕x=x，然后解正切函数即可求得．
解答：
解：〔1〕∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
〔2〕作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，那么AT=2x，
∴OT=x，
∴TC=〔﹣1〕x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴==，即==，
∴CD=〔1﹣〕x，TD=2〔1﹣〕x，
∴AD=2x﹣2〔1﹣〕x=x，
∴tan∠TAC===．

点评：
此题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
22．〔10分〕〔2022•武汉〕锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
〔1〕如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
〔2〕假设AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
考点：
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
〔1〕①根据EF∥BC，可得，所以，据此求出的值是多少即可．
②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．
〔2〕根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．
解答：
解：〔1〕①∵EF∥BC，
∴，
∴=，
即的值是．

②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x，
∵=，
∴EF=，
∴S=EH•EF=x〔8﹣x〕=﹣+24，
∴当x=4时，S的最大值是24．

〔2〕设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
，
解得a=．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC=，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=
∴，
解得a=．
综上，可得
正方形PQMN的边长是或．
点评：
〔1〕此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
〔2〕此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
〔3〕此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
23．〔10分〕〔2022•武汉〕如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．
〔1〕求证：EF+PQ=BC；
〔2〕假设S1+S3=S2，求的值；
〔3〕假设S3+S1=S2，直接写出的值．
考点：
相似形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由平行线得出比例式，，证出AP=BE，得出=1，即可得出EF+PQ=BC；
〔2〕过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，设EF=a，PQ=b，AM=h，那么BC=a+b，由平行线得出△AEF∽△APQ，得出=，得出AN=，MN=〔﹣1〕h，
由三角形的面积公式得出S1=ah，S2=〔a+b〕〔﹣1〕h，S3=〔b+a+b〕h，得出ah+〔a+b+b〕h=〔a+b〕〔﹣1〕h，求出b=3a，即可得出结果；〔3〕由题意得出〔a+b+b〕h﹣ah=〔a+b〕〔﹣1〕h，得出b=〔1+〕a，即可得出结果．
解答：
〔1〕证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，
∴，，
∵AE=BP，
∴AP=BE，
∴==1，
∴=1，
∴EF+PQ=BC；
〔2〕解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如下列图：
设EF=a，PQ=b，AM=h，
那么BC=a+b，
∵EF∥PQ，
∴△AEF∽△APQ，
∴=，
∴AN=，MN=〔﹣1〕h，
∴S1=ah，S2=〔a+b〕〔﹣1〕h，S3=〔b+a+b〕h，
∵S1+S3=S2，
∴ah+〔a+b+b〕h=〔a+b〕〔﹣1〕h，
解得：b=3a，
∴=3，
∴=2；
〔3〕解：∵S3﹣S1=S2，
∴〔a+b+b〕h﹣ah=〔a+b〕〔﹣1〕h，
解得：b=〔1±〕a〔负值舍去〕，
∴b=〔1+〕a，
∴=1+，
∴=．

点评：
此题是相似形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及解方程等知识；此题难度较大，综合性强，特别是〔2〕〔3〕中，需要通过作辅助线证明三角形相似和解方程才能得出结果．
24．〔12分〕〔2022•武汉〕抛物线y=x2+c与x轴交于A〔﹣1，0〕，B两点，交y轴于点C．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E〔m，n〕是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，假设∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围〔利用图1完成你的探究〕．
〔3〕如图2，点P是线段OB上一动点〔不包括点O、B〕，PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，那么可得抛物线解析式；
〔2〕过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；
〔3〕首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．
解答：
解：〔1〕把A〔﹣1，0〕代入
得c=﹣，
∴抛物线解析式为
〔2〕如图1，过点C作CH⊥EF于点H，

∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E〔m，n〕
∴F〔m，〕
又∵C〔0，〕
∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2
又∵，
那么
∴n+=2
∴n=〔﹣2＜m＜0〕
〔3〕由题意可知P〔t，0〕，M〔t，〕
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．
∴．
其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，
∴PQ=．
BQ=
∴PQ+BQ+PB=．
∴△PBQ的周长为2．
点评：
此题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．

菁优网
2022年7月23日