2022年辽宁省盘锦市中考数学试卷.docx
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2022年辽宁省盘锦市中考数学试卷 一、选择题〔以下各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号涂在答题卡上,每题3分,共30分〕 1.〔3分〕﹣2的相反数是〔 〕 A.2 B. C.﹣ D.﹣2 2.〔3分〕以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是〔 〕 A. B. C. D. 3.〔3分〕以下等式从左到右的变形,属于因式分解的是〔 〕 A.x2+2x﹣1=〔x﹣1〕2 B.〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2 C.x2+4x+4=〔x+2〕2 D.ax2﹣a=a〔x2﹣1〕 4.〔3分〕如图,下面几何体的俯视图是〔 〕 A. B. C. D. 5.〔3分〕在我市举办的中学生“争做文明盘锦人〞演讲比赛中,有15名学生进入决赛,他们决赛的成绩各不相同,小明想知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的〔 〕 A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数 6.〔3分〕不等式组的解集是〔 〕 A.﹣1<x≤3 B.1≤x<3 C.﹣1≤x<3 D.1<x≤3 7.〔3分〕样本数据3,2,4,a,8的平均数是4,那么这组数据的众数是〔 〕 A.2 B.3 C.4 D.8 8.〔3分〕十一期间,几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩,中巴车的租价为480元,出发时又有4名学生参加进来,结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原来游玩的同学有x名,那么可得方程〔 〕 A.﹣=4 B.﹣=4 C.﹣=4 D.﹣=4 9.〔3分〕如图,双曲线y=﹣〔x<0〕经过▱ABCO的对角线交点D,边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,那么▱OABC的面积是〔 〕 A. B. C.3 D.6 10.〔3分〕如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣1,0〕,顶点坐标〔1,n〕,与y轴的交点在〔0,3〕,〔0,4〕之间〔包含端点〕,那么以下结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm〔m为任意实数〕;⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有〔 〕 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题〔每题3分,共24分〕 11.〔3分〕2022年我国对“一带一路〞沿线国家直接投资145亿美元,将145亿用科学记数法表示为. 12.〔3分〕假设式子有意义,那么x的取值范围是. 13.〔3分〕计算:10ab3÷〔﹣5ab〕=. 14.〔3分〕对于▱ABCD,从以下五个关系式中任取一个作为条件:①AB=BC;②∠BAD=90°;③AC=BD;④AC⊥BD;⑤∠DAB=∠ABC,能判定▱ABCD是矩形的概率是. 15.〔3分〕如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AB=4cm,分别以B、C为圆心,以BD、CD为半径画弧,交边AB、AC于点E、F,那么图中阴影局部的面积是cm2. 16.〔3分〕在平面直角坐标系中,点P的坐标为〔0,﹣5〕,以P为圆心的圆与x轴相切,⊙P的弦AB〔B点在A点右侧〕垂直于y轴,且AB=8,反比例函数y=〔k≠0〕经过点B,那么k=. 17.〔3分〕如图,⊙O的半径OA=3,OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点,连接OB、OC,用扇形OBC围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的高为. 18.〔3分〕如图,点A1〔1,1〕在直线y=x上,过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1,B2,过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2,过点A2作x轴的平行线交直线y=x于点B3,…,按照此规律进行下去,那么点An的横坐标为. 三、解答题〔19小题8分,20小题10分,共18分〕 19.〔8分〕先化简,再求值:〔+〕÷,其中a=〔π﹣〕0+〔〕﹣1. 20.〔10分〕如图,码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上,仓库C在海岛O的北偏东75°方向上,码头A、B均在仓库C的正西方向,码头B和仓库C的距离BC=50km,假设将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处,再用货船运送到海岛O,假设汽车的行驶速度为50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵海岛O〔两个码头物资装船所用的时间相同,参考数据:≈1.4,≈1.7〕 21.〔14分〕如今很多初中生购置饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种: A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料. 根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答以下问题: 〔1〕这个班级有多少名同学并补全条形统计图. 〔2〕假设该班同学没人每天只饮用一种饮品〔每种仅限1瓶,价格如下表〕,那么该班同学用于饮品上的人均花费是多少元 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格〔元/瓶〕 0 2 3 4 〔3〕假设我市约有初中生4万人,估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元 〔4〕为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学〔男生2人,女生3人〕中随机抽取2名同学做良好习惯监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率. 22.〔12分〕如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答以下问题: 〔1〕求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上; 〔2〕求出边A1C1所在直线的解析式; 〔3〕在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出P点坐标. 23.〔12分〕端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况,请根据小梅提供的信息,解答小慧和小杰提出的问题.〔价格取正整数〕 24.〔12分〕如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F. 〔1〕判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; 〔2〕假设⊙O的半径R=5,tanC=,求EF的长. 25.〔14分〕如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点〔不与点B、点C重合〕,连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ. 〔1〕如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系. 〔2〕如图2,当点P在CB延长线上时,〔1〕中结论是否成立假设成立,请加以证明;假设不成立,请说明理由; 〔3〕如图3,当点P在BC延长线上时,假设∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长 26.〔14分〕如图,直线y=﹣2x+4交y轴于点A,交抛物线y=x2+bx+c于点B〔3,﹣2〕,抛物线经过点C〔﹣1,0〕,交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作PE⊥DB交DB所在直线于点E. 〔1〕求抛物线的解析式; 〔2〕当△PDE为等腰直角三角形时,求出PE的长及P点坐标; 〔3〕在〔2〕的条件下,连接PB,将△PBE沿直线AB翻折,直接写出翻折点后E的对称点坐标. 2022年辽宁省盘锦市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题〔以下各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号涂在答题卡上,每题3分,共30分〕 1.〔3分〕〔2022•盘锦〕﹣2的相反数是〔 〕 A.2 B. C.﹣ D.﹣2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣〞号,求解即可. 【解答】解:﹣2的相反数是2, 应选:A. 【点评】此题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣〞号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 2.〔3分〕〔2022•盘锦〕以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是〔 〕 A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可. 【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、是中心对称图形,故本选项正确; D、不是中心对称图形,故本选项错误; 应选C. 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 3.〔3分〕〔2022•盘锦〕以下等式从左到右的变形,属于因式分解的是〔 〕 A.x2+2x﹣1=〔x﹣1〕2 B.〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2 C.x2+4x+4=〔x+2〕2 D.ax2﹣a=a〔x2﹣1〕 【分析】根据因式分解的意义即可求出答案. 【解答】解:〔A〕x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2,故A不是因式分解, 〔B〕a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕,故B不是因式分解, 〔D〕ax2﹣a=a〔x2﹣1〕=a〔x+1〕〔x﹣1〕,故D分解不完全, 应选〔C〕 【点评】此题考查多项式的因式分解,解题的关键是正确理解因式分解的意义,此题属于根底题型. 4.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,下面几何体的俯视图是〔 〕 A. B. C. D. 【分析】找到从上面看所得到的图形即可. 【解答】解:从上面可看到第一行有三个正方形, 第二行最左边有1个正方形. 应选D. 【点评】此题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图. 5.〔3分〕〔2022•盘锦〕在我市举办的中学生“争做文明盘锦人〞演讲比赛中,有15名学生进入决赛,他们决赛的成绩各不相同,小明想知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的〔 〕 A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数 【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可. 【解答】解:由题意可得: 一名学生想要知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的中位数, 应选D. 【点评】此题考查统计量的选择,解题的关键是明确题意,选取适宜的统计量. 6.〔3分〕〔2022•盘锦〕不等式组的解集是〔 〕 A.﹣1<x≤3 B.1≤x<3 C.﹣1≤x<3 D.1<x≤3 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式<1,得:x<3, 解不等式2〔x+2〕+1≥3,得:x≥﹣1, ∴不等式组的解集为﹣1≤x<3, 应选:C. 【点评】此题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是根底,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键. 7.〔3分〕〔2022•盘锦〕样本数据3,2,4,a,8的平均数是4,那么这组数据的众数是〔 〕 A.2 B.3 C.4 D.8 【分析】根据平均数的定义求出a的值,再求出众数. 【解答】解:a=4×5﹣3﹣2﹣4﹣8=3, 那么这组数据为3,2,4,3,8; 众数为3, 应选B. 【点评】此题考查了平均数和众数,求出a的值是解题的关键. 8.〔3分〕〔2022•盘锦〕十一期间,几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩,中巴车的租价为480元,出发时又有4名学生参加进来,结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原来游玩的同学有x名,那么可得方程〔 〕 A.﹣=4 B.﹣=4 C.﹣=4 D.﹣=4 【分析】原来参加游玩的同学为x名,那么后来有〔x+4〕名同学参加,根据增加4名学生之后每个同学比原来少分担4元车费,列方程即可. 【解答】解:由题意得:=4, 应选D. 【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答此题的关键是读懂题意,设出未知数,找出适宜的等量关系,列方程. 9.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,双曲线y=﹣〔x<0〕经过▱ABCO的对角线交点D,边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,那么▱OABC的面积是〔 〕 A. B. C.3 D.6 【分析】根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,即可得出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|,代入k值即可得出结论. 【解答】解:∵点D为▱ABCD的对角线交点,双曲线y=﹣〔x<0〕经过点D,AC⊥y轴, ∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3. 应选C. 【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质,根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,找出出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|是解题的关键. 10.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣1,0〕,顶点坐标〔1,n〕,与y轴的交点在〔0,3〕,〔0,4〕之间〔包含端点〕,那么以下结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm〔m为任意实数〕;⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有〔 〕 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【分析】根据抛物线开口向下判断出a<0,再根据顶点横坐标用a表示出b,根据与y轴的交点求出c的取值范围,然后判断出①错误,②正确,根据点A的坐标用c表示出a,再根据c的取值范围解不等式求出③正确,根据顶点坐标判断出④正确,⑤错误,从而得解. 【解答】解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵顶点坐标〔1,n〕, ∴对称轴为直线x=1, ∴﹣=1, ∴b=﹣2a>0, ∵与y轴的交点在〔0,3〕,〔0,4〕之间〔包含端点〕, ∴3≤c≤4, ∴abc<0,故①错误, 3a+b=3a+〔﹣2a〕=a<0,故②正确, ∵与x轴交于点A〔﹣1,0〕, ∴a﹣b+c=0, ∴a﹣〔﹣2a〕+c=0, ∴c=﹣3a, ∴3≤﹣3a≤4, ∴﹣≤a≤﹣1,故③正确, ∵顶点坐标为〔1,n〕, ∴当x=1时,函数有最大值n, ∴a+b+c≥am2+bm+c, ∴a+b≥am2+bm,故④正确, 一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1,故⑤错误, 综上所述,结论正确的选项是②③④共3个. 应选B. 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,主要利用了二次函数的开口方向,对称轴,最值问题,以及二次函数图象上点的坐标特征,关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系. 二、填空题〔每题3分,共24分〕 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 12.〔3分〕〔2022•盘锦〕假设式子有意义,那么x的取值范围是 x>﹣. 【分析】分式的分母不等于零,二次根式的被开方数是非负数,那么2x+3>0.由此求得x的取值范围. 【解答】解:依题意得:2x+3>0. 解得x>﹣. 故答案是:x>﹣. 【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子〔a≥0〕叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否那么二次根式无意义. 13.〔3分〕〔2022•盘锦〕计算:10ab3÷〔﹣5ab〕= ﹣2b2. 【分析】根据整式的除法法那么即可求出答案. 【解答】解:原式=﹣2b2, 故答案为:﹣2b2 【点评】此题考查整式的除法,解题的关键是熟练运用整式的运算法那么,此题属于根底题型. 14.〔3分〕〔2022•盘锦〕对于▱ABCD,从以下五个关系式中任取一个作为条件:①AB=BC;②∠BAD=90°;③AC=BD;④AC⊥BD;⑤∠DAB=∠ABC,能判定▱ABCD是矩形的概率是. 【分析】由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形,求出概率即可. 【解答】解:由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形, ∴能判定▱ABCD是矩形的概率是, 故答案为. 【点评】此题考查概率公式、矩形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 15.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AB=4cm,分别以B、C为圆心,以BD、CD为半径画弧,交边AB、AC于点E、F,那么图中阴影局部的面积是 〔2+2﹣π〕 cm2. 【分析】首先计算出AD长,进而可得BD和DC长,然后利用三角形ABC的面积减去扇形BED和DFC的面积即可. 【解答】解:∵AD是BC边上的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵∠B=30°, ∴AD=AB=2cm, ∴BD==2〔cm〕, ∵∠C=45°, ∴∠DAC=45°, ∴AD=CD=2cm, ∴BC=〔2+2〕cm, ∴S阴影=×〔2+2〕×2﹣﹣=2+2﹣π﹣=2+2﹣π, 故答案为:〔2+2﹣π〕. 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算,以及勾股定理,关键是正确计算出AD、BD、CD长. 16.〔3分〕〔2022•盘锦〕在平面直角坐标系中,点P的坐标为〔0,﹣5〕,以P为圆心的圆与x轴相切,⊙P的弦AB〔B点在A点右侧〕垂直于y轴,且AB=8,反比例函数y=〔k≠0〕经过点B,那么k= ﹣8或﹣32 . 【分析】设AB交y轴于点C,利用垂径定理可求得PC的长,那么可求得B点坐标,代入反比例函数解析式可求得k的值. 【解答】解: 设线段AB交y轴于点C,当点C在点P的上方时,连接PB,如图, ∵⊙P与x轴相切,且P〔0,﹣5〕, ∴PB=PO=5, ∵AB=8, ∴BC=4, 在Rt△PBC中,由勾股定理可得PC==3, ∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2, ∴B点坐标为〔4,﹣2〕, ∵反比例函数y=〔k≠0〕经过点B, ∴k=4×〔﹣2〕=﹣8; 当点C在点P下方时,同理可求得PC=3,那么OC=OP+PC=8, ∴B〔4,﹣8〕, ∴k=4×〔﹣8〕=﹣32; 综上可知k的值为﹣8或﹣32, 故答案为:﹣8或﹣32. 【点评】此题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征,利用垂径定理和切线的性质求得PC的长是解题的关键,注意分两种情况. 17.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,⊙O的半径OA=3,OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点,连接OB、OC,用扇形OBC围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的高为 2. 【分析】求出△OAB和△AOC都是等边三角形,求出∠BOC=120°,根据弧长公式求出圆锥的半径,根据勾股定理求出即可. 【解答】解:连接AB,AC, ∵BC为OA的垂直平分线, ∴OB=AB,OC=AC, ∴OB=AB=OA,OC=OA=AC, ∴△OAB和△AOC都是等边三角形, ∴∠BOA=∠AOC=60°, ∴∠BOC=120°, 设圆锥的底面半径为r,那么2πr=, 解得:r=1, 这个圆锥的高为=2, 故答案为:2. 【点评】此题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,弧长公式等知识点,能求出圆锥的半径是解此题的关键. 18.〔3分〕〔2022•盘锦〕如图,点A1〔1,1〕在直线y=x上,过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1,B2,过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2,过点A2作x轴的平行线交直线y=x于点B3,…,按照此规律进行下去,那么点An的横坐标为. 【分析】由点A1的横坐标可求出点B1的坐标,进而可得出A1B1、A1B2的长度,由1+A1B2=可得出点A2、B2的坐标,同理可求出点A3、An的坐标,此题得解. 【解答】解:∵AnBn+1∥x轴, ∴tan∠AnBn+1Bn=. 当x=1时,y=x=, ∴点B1的坐标为〔1,〕, ∴A1B1=1﹣,A1B2==﹣1. ∵1+A1B2=, ∴点A2的坐标为〔,〕,点B2的坐标为〔,1〕, ∴A2B2=﹣1,A2B3==﹣, ∴点A3的坐标为〔,〕,点B3的坐标为〔,〕. 同理,可得:点An的坐标为〔,〕. 故答案为:. 【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标,通过解直角三角形找出点A2、A3、…、An的坐标是解题的关键. 三、解答题〔19小题8分,20小题10分,共18分〕 19.〔8分〕〔2022•盘锦〕先化简,再求值:〔+〕÷,其中a=〔π﹣〕0+〔〕﹣1. 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答此题. 【解答】解:〔+〕÷ = = =, 当a=〔π﹣〕0+〔〕﹣1=1+2=3时,原式==1. 【点评】此题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂,解答此题的关键是明确它们各自的计算方法. 20.〔10分〕〔2022•盘锦〕如图,码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上,仓库C在海岛O的北偏东75°方向上,码头A、B均在仓库C的正西方向,码头B和仓库C的距离BC=50km,假设将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处,再用货船运送到海岛O,假设汽车的行驶速度为50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵海岛O〔两个码头物资装船所用的时间相同,参考数据:≈1.4,≈1.7〕 【分析】如图延长CA交OM于K.承办方求出OB、AB的长,分别求出时间即可判断. 【解答】解:如图延长CA交OM于K. 由题意∠COK=75°,∠BOK=60°,∠COK=45°,∠CKO=90°, ∴∠KCO=15°,∠KBO=30°,OK=KA, ∵∠KBO=∠C+∠BOC, ∴∠C=∠BOC=15°, ∴OB=BC=50〔km〕, 在Rt△OBK中,OK=OB=25〔km〕,KB=OK=25〔km〕, 在Rt△AOK中,OK=AK=25〔km〕,OA=25≈35km, ∴AB=KB﹣AK≈17.5〔km〕, ∴从A码头的时间=+=3.4〔小时〕, 从B码头的时间=+=3〔小时〕,3<3.4, 答:这批物资在B码头装船,最早运抵海岛O. 【点评】此题考查解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题. 21.〔14分〕〔2022•盘锦〕如今很多初中生购置饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种: A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料. 根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答以下问题: 〔1〕这个班级有多少名同学并补全条形统计图. 〔2〕假设该班同学没人每天只饮用一种饮品〔每种仅限1瓶,价格如下表〕,那么该班同学用于饮品上的人均花费是多少元 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格〔元/瓶〕 0 2 3 4 〔3〕假设我市约有初中生4万人,估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元 〔4〕为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学〔男生2人,女生3人〕中随机抽取2名同学做良好习惯监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率. 【分析】〔1〕由B类型的人数及其百分比求得总人数,在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数,即可补全条形图; 〔2〕由各类的人数可得其总消费,进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元; 〔3〕用总人数乘以样本中的人均消费数额即可; 〔4〕用列表法或画树状图法列出所有等可能结果,从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数,根据概率公式求解可得. 【解答】解:〔1〕∵抽查的总人数为:20÷40%=50人, ∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人, 补全条形统计图如下: 〔2〕该班同学用于饮品上的人均花费==2.6元; 〔3〕我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元. 〔4〕列表得: 女 女 女 男 男 女 ﹣﹣﹣ 〔女,女〕 〔女,女〕 〔男,女〕 〔男,女〕 女 〔女,女〕 ﹣﹣﹣ 〔女,女〕 〔男,女〕 〔男,女〕 女 〔女,女〕 〔女,女〕 ﹣﹣﹣ 〔男,女〕 〔男,女〕 男 〔女,男〕 〔女,男〕 〔女,男〕 ﹣﹣﹣ 〔男,男〕 男 〔女,男〕 〔女,男〕 〔女,男〕 〔男,男〕 ﹣﹣﹣ 或画树状图得: 所有等可能的情况数有20种,其中一男一女的有12种, 所以P〔恰好抽到一男一女〕==. 【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据;扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小. 22.〔12分〕〔2022•盘锦〕如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答以下问题: 〔1〕求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上; 〔2〕求出边A1C1所在直线的解析式; 〔3〕在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出P点坐标. 【分析】〔1〕如图作A1H⊥x轴于H.在Rt△A1OH中,由A1H=3,∠A1OH=60°,可得OH=A1H•tan30°=,求出点A坐标即可解决问题; 〔2〕利用待定系数法即可解决问题; 〔3〕分三种情形讨论即可解决问题; 【解答】解:〔1〕如图作A1H⊥x轴于H. 在Rt△A1OH中,∵A1H=3,∠A1OH=60°, ∴OH=A1H•tan30°=, ∴A1〔,3〕, ∵x=时,y=﹣×+4=3, ∴A1在直线y=﹣x+4上. 〔2〕∵A1〔,3〕,C1〔2,0〕, 设直线A1C1的解析式为y=kx+b,那么有, 解得, ∴直线A1C1的解析式为y=﹣x+6. 〔3〕∵M〔4,0〕,A1〔,3〕,C1〔2,0〕, 由图象可知,当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时,P1〔3,3〕,P2〔5,﹣3〕,P3〔﹣,3〕. 【点评】此题考查一次函数综合题.平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型. 23.〔12分〕〔2022•盘锦〕端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况,请根据小梅提供的信息,解答小慧和小杰提出的问题.〔价格取正整数〕 【分析】小慧:设定价为x元,利润为y元,根据利润=〔定价﹣进价〕×销售量,列出函数关系式,结合x的取值范围,求出当y取800时,定价x的值即可; 小杰:根据小慧中求出的函数解析式,运用配方法求最大值,并求此时x的值即可. 【解答】解:小慧:设定价为x元,利润为y元,那么销售量为:410﹣10〔x﹣100〕=1410﹣10x, 由题意得,y=〔x﹣80〕〔1410﹣10x〕 =﹣10x2+2210x﹣112800, 当y=8580时,﹣10x2+2210x﹣112800=8580, 整理,得:x2﹣221x+12138=0, 解得:x=102或x=119, ∵当x=102时,销量为1410﹣1020=390, 当x=119时,销量为1410﹣1190=220, ∴假设要到达8580元的利润,且薄利多销, ∴此时的定价应为102元; 小杰:y=﹣10x2+2210x﹣112800=﹣10〔x﹣〕2+, ∵价格取整数,即x为整数, ∴当x=110或x=111时,y取得最大值,最大值为9300, 答:8580元的销售利润不是最多,当定价为110元或111元时,销售利润最多,最多利润为9300元. 【点评】此题考查了二次函数的应用,难度一般,解答此题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式,要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值. 24.〔12分〕〔2022•盘锦〕如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F. 〔1〕判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; 〔2〕假设⊙O的半径R=5,tanC=,求EF的长. 【分析】〔1〕连接圆心和切点,利用平行,OF⊥CB可证得∠ODF=90°; 〔2〕过D作DH⊥BC于H,设BD=k,CD=2k,求得BD=2,CD=4,根据三角形的面积公式得到DH==4,由勾股定理得到OH==3,根据射影定理得到OD2=OH•OE,求得OE=,得到BE=,根据相似三角形的性质得到BF=2,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】〔1〕证明:如图,连接OD,BD, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=∠90°, ∴BD⊥AC. ∵AB=BC, ∴AD=DC. ∵OA=OB, ∴OD∥BC, ∵DE⊥BC, ∴DE⊥OD. ∴直线DE是⊙O的切线. 〔2〕过D作DH⊥BC于H, ∵⊙O的半径R=5,tanC=, ∴BC=10, 设BD=k,CD=2k, ∴BC=k=10, ∴k=2, ∴BD=2,CD=4, ∴DH==4, ∴OH==3, ∵DE⊥OD,DH⊥OE, ∴OD2=OH•OE, ∴OE=, ∴BE=, ∵DE⊥AB, ∴BF∥OD, ∴△BFE∽△ODE, ∴,即, ∴BF=2, ∴EF==. 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,等腰直角三角形的性质以及解直角三角形.当题中已有垂直时,证直线为圆的切线,通常选用平行来进行证明;而求相关角的余弦值,应根据所给条件进行适当转移,注意利用直角三角形面积的不同方式求解. 25.〔14分〕〔2022•盘锦〕如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点〔不与点B、点C重合〕,连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ. 〔1〕如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系. 〔2〕如图2,当点P在CB延长线上时,〔1〕中结论是否成立假设成立,请加以证明;假设不成立,请说明理由; 〔3〕如图3,当点P在BC延长线上时,假设∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长 【分析】〔1〕结论:BQ=CP.如图1中,作PH∥AB交CO于H,可得△PCH是等边三角形,只要证明△POH≌△QPB即可; 〔2〕成立:PC=BQ.作PH∥AB交CO的延长线于H.证明方法类似〔1〕; 〔3〕如图3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF.设CE=EO=a,那么FC=FP=2a,EF=a,在Rt△PCE中,PC===〔+〕a,根据PC+CB=4,可得方程〔+〕a+a=4,求出a即可解决问题; 【解答】解:〔1〕结论:BQ=CP. 理由:如图1中,作PH∥AB交CO于H. 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点, ∴CO=AO=BO,∠CBO=60°, ∴△CBO是等边三角形, ∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°, ∴∠CHP=∠CPH=60°, ∴△CPH是等边三角形, ∴PC=PH=CH, ∴OH=PB, ∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP, ∵∠OPQ=∠OCP=60°, ∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ, ∴△POH≌△QPB, ∴PH=QB, ∴PC=BQ. 〔2〕成立:PC=BQ. 理由:作PH∥AB交CO的延长线于H. 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点, ∴CO=AO=BO,∠CBO=60°, ∴△CBO是等边三角形, ∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°, ∴∠CHP=∠CPH=60°, ∴△CPH是等边三角形, ∴PC=PH=CH, ∴OH=PB, ∵∠POH=60°+∠CPO,∠QPO=60°+∠CPQ, ∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ, ∴△POH≌△QPB, ∴PH=QB, ∴PC=BQ. 〔3〕如图3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF. ∵∠OPC=15°,∠OCB=∠OCP+∠POC, ∴∠POC=45°, ∴CE=EO,设CE=EO=a,那么FC=FP=2a,EF=a, 在Rt△PCE中,PC===〔+〕a, ∵PC+CB=4, ∴〔+〕a+a=4, 解得a=4﹣2, ∴PC=4﹣4, 由〔2〕可知BQ=PC, ∴BQ=4﹣4. 【点评】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题. 26.〔14分〕〔2022•盘锦〕如图,直线y=﹣2x+4交y轴于点A,交抛物线y=x2+bx+c于点B〔3,﹣2〕,抛物线经过点C〔﹣1,0〕,交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作PE⊥DB交DB所在直线于点E. 〔1〕求抛物线的解析式; 〔2〕当△PDE为等腰直角三角形时,求出PE的长及P点坐标; 〔3〕在〔2〕的条件下,连接PB,将△PBE沿直线AB翻折,直接写出翻折点后E的对称点坐标. 【分析】〔1〕把B〔3,﹣2〕,C〔﹣1,0〕代入y=x2+bx+c即可得到结论; 〔2〕由y=x2﹣x﹣2求得D〔0,﹣2〕,根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE,列方程即可得到结论; 〔3〕①当P点在直线BD的上方时,如图1,设点E关于直线AB的对称点为E′,过E′作E′H⊥DE于H,求得直线EE′的解析式为y=x﹣,设E′〔m,m﹣〕,根据勾股定理即可得到结论;②当P点在直线BD的下方时,如图2,设点E关于直线AB的对称点为E′,过E′作E′H⊥DE于H,得到直线EE′的解析式为y=x﹣3,设E′〔m,m﹣3〕,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解:〔1〕把B〔3,﹣2〕,C〔﹣1,0〕代入y=x2+bx+c得,, ∴, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2; 〔2〕设P〔m,m2﹣m﹣2〕, 在y=x2﹣x﹣2中,当x=0时,y=﹣2, ∴D〔0,﹣2〕, ∵B〔3,﹣2〕, ∴BD∥x轴, ∵PE⊥BD, ∴E〔m,﹣2〕, ∴DE=m,PE=m2﹣m﹣2+2,或PE=﹣2﹣m2+m+2, ∵△PDE为等腰直角三角形,且∠PED=90°, ∴DE=PE, ∴m=m2﹣m,或m=﹣m2+m, 解得:m=5,m=2,m=0〔不合题意,舍去〕, ∴PE=5或2, P〔2,﹣3〕,或〔5,3〕; 〔3〕①当P点在直线BD的上方时,如图1,设点E关于直线AB的对称点为E′- 配套讲稿:
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