2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案：1.3.1-柱体、锥体、台体的表面积与体积-Word版含解析.doc

1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

知识导图

学法指导
1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．
2．求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出．
3．充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题．
高考导航
本节知识是高考的重点内容，考查频率很高，常考题型如下：
(1)几何体的表面积或体积的计算，以选择题、填空题为主，分值5分．
(2)与后面要学习的点、线、面的位置关系的知识综合，作为解答题中的一问，考查几何体体积的计算，分值5～8分.

知识点　柱体、锥体、台体的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱(底面半径为r，母线长为l)
圆锥(底面半径为r，母线长为l)
圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展
开图

底面积
S底＝2πr2
S底＝πr2
S底＝π(r′2＋r2)
侧面积
S侧＝2πrl
S侧＝πrl
S侧＝π(r′＋r)l
表面积
S表＝2πr(r＋l)
S表＝πr(r＋l)
S表＝π(r′2＋r2)＋π(r＋r′)l
3.体积公式

图形
体积公式
柱
体
棱
柱

底面积为S，高为h，V＝Sh
圆
柱

底面半径为r，高为h，V＝πr2h
锥
体
棱
锥

底面积为S，高为h, V＝Sh
圆
锥

底面半径为r，高为h，V＝πr2h
台
体
棱
台

上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝(S′＋＋S)·h
圆
台

上底半径为r，下底半径为R，高为h，V＝π(r2＋rR＋R2)h

1 .多面体与旋转体表面积的计算方法
(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．
(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系
柱体、锥体、台体的关系如下：

根据以上关系，在台体的体积公式中，令S ′＝S，得柱体的体积公式；令S ′＝0，得锥体的体积公式，其关系如图：

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　)
A．48(3＋)　　　　　　　B．48(3＋2)
C．24(＋) D．144
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
答案：A
3．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是(　　)
A．24π B．24
C．3π D．3
解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝＝.由圆锥的体积公式可得V＝πr2h＝3π.
答案：C
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．
解析：圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，则圆台的侧面面积S侧＝π(r′＋r)l＝π×(2＋7)×6＝54π.
答案：54π

类型一　空间几何体的表面积
例1　(1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)
A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．6　　　　　　D．8

(2)若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【解析】　(1)由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.
(2)如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．
【答案】　(1)D　(2)8π　12π
(1)先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解．
(2)由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积，进而求表面积．

方法归纳
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
3．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．

跟踪训练1　如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1 m2)．
解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，
所以底面正六边形的边长是0.46 m.
所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2)．
所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6 (m2)．
故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板．
答案：5.6
本题实质上是求解正六棱柱的表面积，根据底面外接圆半径可确定该六棱柱底面边长，高已知，从而问题可解．
类型二　空间几何体的体积
例2　(1)

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；
(2)一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积．
【解析】　(1)由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝，BC1＝，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝a2，∴V＝×8×4＝8.,
(2)如图所示为正三棱锥S－ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.

∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3，∴AH＝AE＝2.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9，
∴VS－ABC＝×9×＝9，即这个正三棱锥的体积为9.
【答案】　(1)8　(2)9
(1)利用截面的面积求出三棱柱的底面边长及高，然后利用体积公式求体积．
(2)求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求解．

方法归纳
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．

跟踪训练2　如图，过圆柱的两条母线AA1和BB1的截面A1ABB1的面积为S，母线AA1的长为l，∠A1O1B1＝90°，求此圆柱的体积．
解析：∵S截面A1ABB1＝S，AA1＝l，
∴A1B1＝.在Rt△A1O1B1中，O1A1＝·＝，
∴V圆柱＝πr2h＝π·2·l＝.
根据母线长及截面的面积便可确定AB的长，结合底面直角三角形便可求得底面半径．

类型三　组合体的表面积和体积
例3　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．

【解析】　由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝·π·a2·a＝πa3.
∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积．

方法归纳
求组合体的表面积与体积的方法
(1)分析结构特征．
弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
(2)设计计算方法．
根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．
(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．
跟踪训练3　如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．

解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，由已知得∠BAC＝90°，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝××8＝96.
答案：96
将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)

1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为(　　)
A．π　 B．2π
C．3π D．4π
解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
答案：C
2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为(　　)
A．26 B．28
C．30 D．32
解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.
答案：B
3．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4π2 B．3π2
C．2π2 D．π2
解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.
答案：A
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为(　　)
A. B．2
C．4 D．2
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4，可得a2＝2，即a＝.
答案：A
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是(　　)
A.π B.π
C.π D.π

解析：如图，△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的圆锥后剩余的部分．
因为AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，
所以AE＝ABsin60°＝，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝.
V1＝π·AE2·CE＝，V2＝π·AE2·BE＝π，
所以V＝V1－V2＝π.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．[2019·重庆市巴南区校级月考]已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面面积是________cm2.
解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S侧＝π×2×＝2π(cm)2.
答案：2π
7．[2019·郑州市校级月考]底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个直棱柱的侧面面积是________．
解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为＝10，底面的另一条对角线长为＝2.
又菱形的两对角线互相垂直平分，故底面边长为＝2，则这个直棱柱的侧面面积S侧＝4×2×5＝40.
答案：40

8．[2019·启东市校级检测]如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为π(a＋b)r2，所以所求几何体的体积为π(a＋b)r2.
答案：π(a＋b)r2
三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．
解析：

因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.

10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一

周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.
[能力提升](20分钟，40分)

11．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积(　　)
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝××2×4×4＝，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．
答案：D

12．如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，EF，AF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________．
解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积等于正方形ABCD的面积，为6×6＝36(cm2)．
答案：36 cm2
13．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)

解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．
14．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．

解析：如图，梯形ABCD中，
AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.
在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5.
在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，
设其面积分别为S1，S2，S3，
则S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，
S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.