2019_2020学年九年级数学上册期末考点大串讲一元二次方程的应用含解析新版新人教版.docx

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一元二次方程的应用
知识网络

重难突破
知识点一 一元二次方程的解题步骤
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
Ø “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
Ø “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
Ø “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
Ø “解”就是求出说列方程的解；
Ø “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

知识点二 传播问题
【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数
典例1 一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（   ）
A．x（x+1）=45 B．x（x-1）=45 C．2x（x+1）=45 D．
【答案】D
【详解】设这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得：
x（x-1）=45，
即x（x-1）=45×2．
故选：D．
典例2 在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（　　）人．
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【详解】解：设参加此次活动的人数有x人，
由题意得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
即参加此次活动的人数是10人．
故选：B．
典例3 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36
【答案】B
【详解】设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：1+x+(x+1)x＝36．
故选：B．

知识点三 增长率问题
【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来，列出等量关系。
典例1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2＝42
B．10+10（1+x）2＝42
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝42
【答案】D
【详解】设二、三月份利润的月增长率x，则二月份获得利润10（1+x）万元，三月份获得利润10（1+x）2万元，
依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝42．
故选D．
典例2 某县从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该县2018年，2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
故选B．
典例3 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得：
a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%．
故选D．

知识点四 几何问题
【解题关键】根据已知所学内容，将其用含未知数的形式表现出来。
典例1 （2019·河南初三期中）如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为（　）米．

A．2 B．1 C．8或1 D．8
【答案】B
【详解】解：设人行道的宽度为x米，则两块矩形绿地可合成长为（18-3x）米、宽为（6-2x）米的矩形，
根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60，
整理得：x2-9x+8=0，
解得：x1=1，x2=8．
∵8＞6，
∴x2=8舍去．
故选：B．
典例2 在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设金色纸边的宽为，则矩形挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x）cm,
依题意得（80+2x）（50+2x）=5400，
化简为
故选C.
典例3 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为，根据图中信息，可得的值为（ ）

A．10 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,
故(x+30)( x+20)=2000,
解得x1=20,x2=-70(舍去)
故选B.

巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2017春 卫辉市期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
2．（2018春 季店乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】C
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
3．（2018春 永登县期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
【答案】D
【详解】依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.
故答案选D.
4．（2018春 富顺县期中）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（    ）.
A．8% B．9% C．10% D．11%
【答案】C
【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
5．（2019春 贵阳市期末）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x(x-1)2 =930 B．x(x+1)2=930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930
【答案】D
【解析】分析：可设全班有x名同学,则每人写(x-1)份留言,共写x(x-1)份留言,进而可列出方程即可.
详解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）=930，
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x-1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.
6．（2019春 浦东新区期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　)
A．300(1+2x)＝675 B．300(1+x2)＝675
C．300(1+x)2＝675 D．300+x2＝675
【答案】C
【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：
300(1+x)2＝675，
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2018年微信收到的红包是解题的关键.
7．（2019春 河东区期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）

A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选：B．
【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2018春 天山师中考）从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是（ ）
A．100㎡ B．64㎡ C．121㎡ D．144㎡
【答案】B
【解析】设原来正方形木板的边长为xm，从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是48m2，列出方程：
x（x﹣2）=48，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）。
∴原来这块木板的面积是8×8=64（m2）。
故选B。
9．（2018春 驻马店期末）某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（　　）
A．1500（1+x）2＝4250
B．1500（1+2x）＝4250
C．1500+1500x+1500x2＝4250
D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500
【答案】D
【解析】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x，则2018年投入1500（1+x）万元，2019年投入1500（1+x）2万元，根据题意得1500（1+x）+1500（1+x）2=4250﹣1500．故选D．
名师点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．（2018春 滁州市期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)

A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【解析】【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．

二、填空题（共5小题）
11．（2019春 莱西市期中）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【答案】16
【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（2019春 嘉定区）某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．
【答案】100（1﹣m）2
【解析】分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）．
详解：第一次降价后价格为100（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m）（1-m）元，
即100（1-m）2元．
故答案为：100（1-m）2．
【名师点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100（1-m）2．
13．（2019春 宁河县期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.
【答案】11
【详解】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x-1）=55，
整理，得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为：11.
【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2018春 富顺县期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人.
【答案】7
【解析】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，则根据题意可知：，解得：x=7或x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给7个人．
15．（2018春 莱西市期末）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____．
【答案】x（x+40）=1200．
【详解】由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
【名师点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．

三、解答题（共2小题）
16．（2018春 邵阳县期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

【答案】（1）x=5；（2）t=4.8或1.6．
【解析】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【名师点睛】（1）根据梯形的面积公式可列方程：1216-3x-2x×6=33 求解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，在RtPEQ中，用勾股定理列方程求解．

17．（2018春 宁河县期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．