2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数第2课时课堂探究学案-.doc

2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数运算性质的应用
1．在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【典型例题1】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
思路分析：利用对数的运算性质进行计算．
解：(1)方法一：原式＝log2＝log2＝－.
方法二：原式＝log2＋log2(22×3)－log2(2×3×7)＝log27－log2(24×3)＋2＋log23－－log23－log27＝－×4－log23＋＋log23＝－2＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
方法总结像这类对数的运算，主要有两种解答途径：一是将积(商或幂)的对数化为对数的和(差或系数)，且真数最简；二是将对数的和差逆用运算性质化为积商的对数，但需各对数的系数相同．
探究二 换底公式的应用
对数的运算性质中等式的左边都是同底的对数，也就是逆用公式时，必须使对数同底，当对数的底数不相同时，这就要用换底公式把它们化为同底的．如果原式是几个对数的和，换底后，看能不能逆用性质；如果原式是几个对数的积，换底后，看能不能约分，进而化简对数式．
若题目中既有指数式又有对数式，通常将它们化为同一种形式．
【典型例题2】 计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；　(2)(log43＋log83) .
思路分析：用换底公式将对数换为同底的对数后再化简求值．
解：(1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.
【典型例题3】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
思路分析：先利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算．
解：∵18b＝5，∴b＝log185.
∴log3645＝＝＝
＝＝＝＝.
探究三 对数的综合应用
对数的概念实质是给出了指数式与对数式间的关系，因此如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，利用指数与对数间的关系，简化求解过程．
【典型例题4】 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)若26a＝33b＝62c≠1，求证：＋＝.
思路分析：用对数式表示出x，y，a，b，c再代入所求(证)式．
(1)解：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝2log363＝log369，
＝＝＝log364.
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1.
(2)证明：设26a＝33b＝62c＝k(k>0，且k≠1)．
则6a＝log2k≠0,3b＝log3k≠0,2c＝log6k≠0.
∴＝＝6logk2，＝＝3logk3，
＝＝2logk6，
∴＋＝6logk2＋2×3logk3＝logk26＋logk36
＝logk66＝6logk6＝.
∴＋＝.
探究四 易错辨析
易错点　忽略对数的真数为正致错
【典型例题5】 解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6.
错解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg(x2＋x)，
∴lg(x2＋x)＝lg 6，
∴x2＋x＝6，解得x＝2，或x＝－3.
错因分析：错解中，去掉对数符号后方程x2＋x＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是x2＋x＝6中，x∈R，而原方程中，应有再验根即可．
正解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6，
∴x(x＋1)＝6，解得x＝2，或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，∴x＝2.
反思解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数．