2022-2022学年高中数学人教A版必修4学案：1.2.2-同角三角函数的基本关系-Word版含解析.doc

1.2.2　同角三角函数的基本关系

考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
同角三角函数的基本关系
b
b
同角三角函数关系的应用
b
b
知识导图

学法指导
1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．
2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.

同角三角函数的基本关系式

(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．
(2)注意公式成立的条件．
(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2＋cos2＝1.(　　)
(2)sin α2＋cos α2＝1.(　　)
(3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　B.
C. D．－
解析：∵α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
答案：A
3．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是(　　)
A．－　　B.
C. D．－
解析：∵α∈(π，)，∴sin α<0.由tan α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
答案：A
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：C

类型一　利用同角基本关系式求值
例1　(1)已知sin α＝，求cos α，tan α；
(2)已知tan α＝3，求.
【解析】　(1)因为sin α＝>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；
②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，tan α＝－.
(2)分子、分母同除以cos2α，得＝.
又tan α＝3，所以＝＝.

(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．
方法归纳
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．
(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．
(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．
跟踪训练1　(1)本例(2)条件变为＝2，求的值；
(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin α·cos α－5cos2α的值．
解析：(1)法一：由＝2，化简得sin α＝3cos α，
原式＝＝＝.
法二：由＝2得tan α＝3，
原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．

类型二　化简三角函数式
例2　化简：
(1)－；
(2) .
【解析】　(1)－＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝＝＝1.

(1)利用同角基本关系化简．
(2)注意1的活用．例如
1＋2sin 10 °cos 10 °＝sin210 °＋cos210 °＋2sin210 °cos 10 °＝(cos 10 °＋sin 10 °)2
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．

跟踪训练2　(1)化简：；
(2)化简：sin2αtan α＋2sin αcos α＋.
解析：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·＝＝＝.
(1)1－sin2130 °＝cos2130 °，
1－2sin 130 °cos 130 °＝
(sin 130 °－cos 130 °)2.
(2)式子中的tanα应化为，如果出现分式，一般应通分．
类型三　利用同角三角函数关系证明
例3　求证：＝.
【证明】　因为左边＝＝＝＝＝右边，所以等式成立.
左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3　求证：＝.
证明：方法一　因为右边分母为cos α，故可将左边分子分母同乘以cos α.
左边＝＝＝＝＝右边．
方法二　因为左边分母是1－sin α，故可将右边分子分母同乘以1－sin α.
右边＝＝＝＝＝左边．
方法三　只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原式成立．
方法四　只需证明左边－右边＝0即可．
因为－＝＝＝＝0，
所以＝.
方法五　为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑出1＋sin α.
左边＝＝＝＝＝右边．
方法六　证明内项积等于外项积．
因为(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin2α＝cos2α，1－sin α≠0，cos α≠0，所以＝.
方法七　利用分析法逐步寻求等式成立的条件．
要证＝成立，只需证cos αcos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，
即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，故＝成立．
　三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1 ”．
类型四　sin α±cos α型求值
例4　已知sin α＋cos α＝，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．
【解析】　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，可得：sin α·cos α＝－.
因为0<α<π，且sin α·cos α<0，所以sin α>0，cos α<0.所以sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.
sinθ＋cosθ＝,两边平方→求出2sinθcos θ的值→求sinθ－cos θ的值

方法归纳
已知sin α±cos α的求值问题的方法
对于已知sin α±cos α的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
(1)用sin α表示cos α(或用cos α表示sin α)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sin α的值(或cos α的值)，再求其他，如tan α(体现方程思想)．
(2)利用sin α±cos α的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sin αcos α的值，然后求出sin α∓cos α的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sin α，cos α的值，再求其他．
跟踪训练4　已知x是第三象限角，且cos x－sin x＝.
(1)求cos x＋sin x的值；
(2)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值．
解析：(1)(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝，
所以2sin xcos x＝，
所以(cos x＋sin x)2＝1＋2sin xcos x＝，
因为x是第三象限角，所以cos x＋sin x<0，
所以cos x＋sin x＝－.
(2)由
解得cos x＝－，sin x＝－，
所以2sin2x－sin xcos x＋cos2x＝2×－＋＝.
(1)把cosx－sinx＝平方
(2)注意x的范围
(3)分别求出sinx、cosx

1.2.2

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列四个命题中可能成立的一个是(　　)
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．tan α＝－(α在第二象限)
解析：由同角三角函数基本关系式，知A，C，D不可能成立，B可能成立．
答案：B
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝＝＝，∴tan α＝＝＝－.
答案：D
3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．±
解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.
答案：A
4．化简(1－cos α)的结果是(　　)
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
解析：(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.
答案：A
5．已知|sin θ|＝，且<θ<5π，则tan θ的值是(　　)
A. B．－2
C．－ D．2
解析：因为<θ<5π，所以θ为第二象限角，所以sin θ＝，所以cos θ＝－，所以tan θ＝－.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
答案：－
7．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.
解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝0，所以sin α－cos α＝0.
答案：0
8．已知＝2，则sin αcos α的值为________．
解析：由＝2，得＝2，∴tan α＝3，
∴sin αcos α＝＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解析：(1)∵tan α＝3，∴cos α≠0.
原式的分子、分母同除以cos α，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
10．证明：·＝1.
证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：将sin A＋cos A＝两边平方得sin2A＋2sin Acos A＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sin Acos A＝－.因为0<A<π，所以sin A>0，则cos A<0，即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简：－ (α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cos α<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝
＝＝tan α.
14．已知－<x<0，sin x＋cos x＝，求下列各式的值．
(1)sin x－cos x；
(2).
解析：(1)∵sin x＋cos x＝，
∴(sin x＋cos x)2＝2，即1＋2sin xcos x＝，
∴2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝1－2sin xcos x＝1＋＝，
又－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，
∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，∴＝＝.